vacancy – пустота, свободное место, вакансия, пробел, бессмысленность, рассеянность, см. «vain»

vacancy (n.) (из позднелатинского «vacantia»); из латинского «vacans» - пустой, не занятый; из «vacare» - быть пустым; из латинского «vanus» - пустой, не занятый, бесплодный; из PIE *wa-no-, из корня *eue- уйти, отказаться, иссякать

1570s, "a vacating;" c. 1600, "state of being vacant," from Late Latin vacantia, from Latin vacans "empty, unoccupied," present participle of vacare "be empty" (see vain).

Дворецкий:
vacans, antis
1. part. praes. к vaco;
2. adj.
1) ненужный, бесполезный, излишний;
2) незанятый, пустующий;
3) незамужняя, одинокая

vaco, avi, atum, are <одного корня с vanus>
1) быть свободным, быть незанятым, пустовать;
2) быть лишённым, не иметь;
3) быть освобождённым, свободным;
4) отдыхать, быть свободным;
5) посвящать себя, предаваться, заниматься;
6) лежать без пользы;
7) быть открытым, доступным;
8) быть предназначенным, служить;
9) impers. vacat есть время, есть возможность, можно

Не связано ли с «бегу»? Например, фр. «vaguer» - опустошать, ср. «набег». Так же – выгоню, выгон – ВГН – VGN – VCN - vacans, см. «vagabond».