respite – передышка, отсрочка; давать передышку, см. «re-»; respite – (из старофранцузского «respit» - задержка, отсрочка, промедление, почтение (совр. фр. «répit»); из латинского (Дворецкий): re–specto, avi, atum, are : 1) глядеть назад, оглядываться; 2) смотреть, глядеть; 3) принимать во внимание, считаться; 4) ожидать; re–spicio, spexi, spectum, ere : 1) смотреть назад, оглядываться, озираться, поворачиваться; 2) принимать во внимание, иметь в виду, учитывать; 3) иметь попечение, заботиться; 4) надеяться, ожидать; 5) видеть, наблюдать; 6) относиться, касаться, принадлежать; из PIE корня *spek- смотреть, обозревать; из «re-» + specio (spicio), spexi, spectum, ere арх.:смотреть, глядеть. Вероятно, имелось в виду – «присмотреться» (внимательно, оценить). Но, что выросло, то выросло. При-, пере- + щупаю, цапаю, хапаю (взглядом; «цепкий взгляд»; «прицепиться» (ц) взглядом). В гр. σκέπτομαι – осматривать, ср. «зацепить» (взглядом). ПРЦ (Щ) (Ч) ПЦ – (*ПР) (Σ) КП (?) – (P) RSPC (T) - RSPT.
1675: To RESPIT – давать отдых, передышку; откладывать. RESPIT, RESPITE (respit, F.) – время передышки, промедления, воздержания; (1826): передышка, отсрочка, приостановка, задержка – из L respicio в значении «надеяться, ожидать», It. aspettare – ожидать. Брашет еще дает ит. «rispetto» - уважать.
Но, по всей вероятности, это довольно сомнительная конструкция – «зацепить» (прицепиться) взглядом – «надеяться, ожидать» - «передышка, отсрочка». Западных этимологов можно понять, у них мало инструментов, только латинское, немного похожее слово с размытыми значениями.
Вероятнее всего, здесь обошлось без латыни и выпадения «s». Т.е. в основе «спать» (к звукоподражательному «сопаю» - «сопать», ср. еще «сопеть»). Возможно, изначально – «приспать».
Даль: «приспать, или заспать младенца, положив с собою, навалиться на него в беспамятном сне и задушить. - ся, ·возвр. Мне тут приспалось, наскучило спать здесь, хочу на другое место. Приспинок муж., курск. заспанный младенец. Приспинок, от спина, прислон, спинка, заспинье лавки или кресел». Кроме такого кошмарного объяснения у Даля, у Старчевского гораздо прозаичнее. Присънѣниѥ – сон, присънѣтисѧ, - нѣѭ, - сѧ, - нѣѥши, - сѧ – сниться, присниться. Хотя и у Даля есть вполне простое и понятное «приспалось». Ну, и «проспать». Даль: просыпать, проспать до полудня, спать до этой поры. Просыпаться, проспаться, выспаться, поспать вволю, довольно. На просыпку даться, архан. спать долго, после сильного пьянства.
Приспать, проспать – ПРСПТ – (P) RSPT – RSPT. Гр. соответствия, см. «hypnosis».
И, ср. лат. (Дворецкий): I sopio, ivi (ii), itum, ire: 1) наводить сон, усыплять; 2) успокаивать; 3) оглушать, лишать чувств (ср. «сопаю», «спать» - СП (Т) – SP (T); sopor, oris m : 1) беспамятство, бесчувственность (ср. «спал» - СПЛ – SPL → R); 2) крепкий, глубокий сон; 3) снотворный напиток, усыпительное средство; 4) сонливость, вялость, лень; 5) висок; soporo, (avi), atum, are : 1) усыплять; 2) успокаивать, унимать; 3) делать снотворным, снабжать усыпительной силой; 4) спать.