delay – задержка, задерживать.

delay (v.) (из старофранцузского «delaiier»); из «de-» - от + «laier» - покидать, выпускать; возможно, из старофранцузского «laissier»; из латинского «laxare» - ослаблять, уничтожать, замедлять
c.1300, from Old French delaiier, from de- "away, from" (see de-) + laier "leave, let," probably a variant of Old French laissier, from Latin laxare "slacken, undo" (see lax). Related: Delayed; delaying.

lax (adj.) (вялый, слабый, ненатянутый); из латинского «laxus» - широко, просторно; дословно – просторный, ненатянутый, нетугой; из PIE корня *(s)leg- - быть вялым, медленным.
c.1400, "loose" (in reference to bowels), from Latin laxus "wide, loose, open," figuratively "loose, free, wide," from PIE root *(s)leg- "to be slack, be languid" (cognates: Greek legein "to leave off, stop," lagos "hare," literally "with drooping ears," lagnos "lustful, lascivious," lagaros "slack, hollow, shrunken;" Latin languere "to be faint, weary," languidis "faint, weak, dull, sluggish, languid"). Of rules, discipline, etc., attested from mid-15c.

Латинское «langueo, langui, languere». Надо полагать здесь «an» - «юс».
Слега тут причем?
Фасмер:
слега слега́ "брус", см. сляга́.
Даль:
сляга, арх. слега, тонкое, долгое бревно, рычаг.
Фасмер:
сляга сляга́ "тонкое, длинное бревно, рычаг", арханг., слега́ – то же (Даль), слёга "тонкая, длинная жердь", донск. (Миртов), ослеги, слеги "толстые колья", олонецк. (Кулик.), переслега "перекладина", псковск., тверск. (Даль). Форму на – е - ввиду одинакового знач. не имеет смысла отрывать от форм на – я -. Но ср. укр. слíги мн. "толстые перекладины, мосток", наряду со сляж, род. п. - а́ м. "перекладина", мн. сляжí, а также сляг "перевозное судно – паром, лодка", тверск. (Даль). Формы на ѣ (= укр. i) сближаются с лит. slė́gti, slė́giu "давить", slėktis "жом, пресс" (Преобр. II, 321). Русск. формы на – я - возводят к *слѧг- и сближают с лит. sleñksnis, sleñkstis "порог", лтш. slìeksnis – то же, которые Лескин (Abl. 343) относит с колебаниями к лит. sliñkti "красться" (см. также М.–Э. 3, 938 и сл.); ср. Маценауэр, LF 14, 82; Зубатый, LF 20, 406. Лтш. sleñ̨ǵe, sleñ̨ǵis "дверной косяк", которое Маценауэр относит сюда же, согласно Мюленбаху–Эндзелину (М.–Э. 3, 926), заимств. из ср.- н.- нем. slenge "рамка", откуда и эст. leng "плетенка". По мнению Зубатого (там же), балто-слав. слова связаны с нов.- в.- н. schlank "стройный", нж.-нем. slank "тонкий, гибкий" и родственными. Далее Террас (ZfslPh 19, 123) сближает это слово с *lǫčiti (см. лучи́ть I). Происхождение слов сляга́, слега́ можно будет выяснить только при условии привлечения более древних примеров.

Слова «легкий», «лежать», «залегать» нынче не доступны? А так же «коряга». И как это слово попало на север из немецкого?

1828:
LANGUEO, я склоняюсь, опускаюсь, увядаю, падаю в обморок, слабею, чахну; из λαγγεύω или λαγγέω – вялый, робкий, ленивый; или из λήγω, дорическое λάγω – я прекращаю, умираю, оставляю, откуда lageo, langeo.
Ну, есле слово λάγω – дорическое, то я грек. Вот лечь – не встать!

Собственно, писатели языков, при переходе от русского, опять много чего напутали.
1) Лежу, понятно, если человек болеет, то, скорее всего, он лежит. Т.е. «слег».
2) Легко – т.е. искомое значение – ненатянутый, просторный, не тугой. Так же «облегчить». Скорее всего «laxare» - (об) легчил, с заменой «гч» на «х» и «л» - «r».
3) Вероятно, можно рассмотреть и слово «облекать», «облечь», «облегать»
4) Слово «delay» - это просто «отложу», при замене «т» - «d» и «ж» - «g» - «y» (в виду похожести написания). ТЛЖ – tlg – dly.
5) Так же «длю», «продлеваю», «дол»

Все вроде логично, но есть и другие объяснения.
1826:
DELAY, s. прекращать, барьер, помеха; F. “delai”, L. “delatio”
Вот так, донесение, донос. В словаре 1828 этого слова нет. Но и так видно, что «дело» (например, знаменитое «Слово и дело»). Впрочем, Дворецкий дает еще одну форму – «delatonis»

Есть слово «deleo» -
deleo, evi, etum, ere
1) уничтожать, истреблять; разрушать; нарушать, ломать;
2) изглаживать, стирать. C предать что-л. вечному забвению || заглаживать;
3) совершенно или навсегда прекращать morte deleti C усопшие, мёртвые.

Вот здесь, вероятно, делить, отделить. Собственно, барьер и отделяет.

Брашет:
DELAYER, va. to dilute ; from L. dilatare. For loss of medial t see abbaye; for i = e see mettre. The change of sense from dilatare, to dilate, broaden, to that of delayer is seen in the phrase delayer un discours. Delayer is a doublet of dilater, q. v.—Der. delai (verbal subst. of delayer, in its sense of extension ; delai being an extension of time granted).

Разжижать, упрощать, разбавлять. Вот это уже «делить» в чистом виде. Особенно радует английское «dilute».

Дворецкий:
dilato

dī–lāto, āvī, ātum, āre
1) расширять, растягивать;
2) широко раскрывать;
3) распространять, ширить, разносить;
4) затягивать: d. orationem распространяться, обстоятельно излагать;
5) протяжно произносить;
6) расширяться.
dīlātio, ōnis f
1) откладывание, затяжка, отсрочка;
2) промежуток.

Но, так же «длить».