Рот, в смысле "зевло", "хлебало".
Пить-рот, пить через рот.
Кстати, "горшок", это то, что ПОД (задницей) :)
Тут же слово "исподнее".

Кстати, есть еще слово "потир" (версия рот-Тир - для тира, кира, королевский):
Поти́р (от др.-греч. ποτήρ, «чаша, кубок») — сосуд для христианского богослужения, применяемый при освящении вина и принятии причастия.

Как правило, потир — чаша с длинной ножкой и круглым основанием, большим по диаметру, иногда сделанная из ценных материалов (золота, серебра), бронзы, отделочных камней. Первые чаши изготавливались из дерева, около III века появились стеклянные потиры. С IV века получили распространение золотые и серебряные потиры.

Часто ножка имеет утолщение в форме яблока. Потир содержит в себе два круга, верхний и нижний, в чём заключается его сходство с дискосом. Украшается потир орнаментом, изображениями святых. Потир — образ чаши, переданной Христом на Тайной вечере своим ученикам: «Пейте от неё все, ибо сие есть Кровь Моя Нового Завета, за многих изливаемая во оставление грехов» (Мф. 26:27-28).
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%80