Веник

"veṇī" - сор, мусор; коса (волосы)
"veṇu" - тростник, ствол бамбука
Веником сметают мусор, да и формой своей он напоминает женскую косу.
Его в древности могли делать из тростника или бамбука.

Венок

Венки плели из разных растений, в том числе из тростника, своей формой венок напоминает косу, уложенную вокруг головы. Поэтому, связь между словом "венок" и словами "veṇī" и "veṇu", определенно, присутствует.
Помимо этого, у слова "венок" есть связь со словом "vena" - требующий, просящий, любящий; страстное желание, стремление. Венками чествовали победителей спортивных игр, а также воинов и полководцев, отличившихся в сражениях. Они использовались в религиозных обрядах. Существуют свадебные и поминальные венки. Но, главное, что слово "венок" связано с санскритским словом "nāka" - небосвод, небо, в то время как "vā" - ткать, плести, соединять, связывать. Но это "vā" присутствует, например, в словах "вить", "вязать" и "свет".Присутствует оно и в слове "венок".
Вот цитата, подтверждающая связь слов "венок" и "nāka" - небосвод, небо:
"В истории античного мира венку принадлежит самое почетное место, что было предопределено уже самой его формой, соединившей в себе космическую символику круга (совершенство) и кольца (вечность, союз)."