Я построю простую модель, описывающую рост дерева и то, как этот рост отражается на ширине годовых колец. Фактически я собираюсь выяснить зависимость ширины годовых колец от возраста дерева в "идеальных" условиях. Дендрохронологические модели, в свою очередь, должны учитывать отклонение фактического изменения, зависящие от климатических и индивидуальных условий существования дерева, от идеальной ситуации, а так же измерять и оценивать корреляции между деревьями разного возраста. Мы убедимся, что в идеальной ситуации ширина годовых колец значительно зависит от возраста дерева, что и наблюдается в реальности (см., например, фотографию с Консилиума, сделанную С. Покровским):


http://www.newparadigma.ru/engines/civ-engine-latest/read.php?f=3&i=112718&t=112666

На самом же деле, как можно судить из скудных (а точнее - скудообоснованных) источников, традиционные дендрохронологи неявно предполагают, что годовые кольца должны нарастать равномерно, и от того измеряют корреляцию абсолютных широт колец (неизвестным образом усреднённых). Такого рода конструкции являются ошибочными и могут служить для построения глобальной дендрошкалы в исключительных условиях (а именно, при частых кактастрофических изменениях климата)

I) Я предполагаю, что дерево является "самоподобным" в том смысле, что взрослое дерево - это очень крупное молодое. То есть, плотность дерева не зависит от его возраста и общая масса дерева M(t) пропорциональна объёму V(t), который пропорционален кубу линейной величины дерева (например - его высоты) L(t). В этом месте - первое упрощение реальности в моей модели, но я предполагаю, что истинная сложная зависимость (опять же в усреднённых или идеальных условиях) не очень существенно (то есть, не качественным образом) отличается от моего упрощения.

II) Второе упрощение реальности я принимаю в предположении, что жизнь и рост дерева определяется употребляемой им массой минеральных веществ (в основном - водой и растворёнными в ней фракциями). Я считаю, тем самым, что количество потреблённых извне продуктов пропорционально впитывающей поверхности корней.


В моих построениях учитываются две крайние фазы:

1) молодое дерево с малой по сравнению с потребляемыми извне продуктами (например - за год) массой. В этом случае потребление почти полностью идёт на прирост массы дерева;

2) дерево взрослое, с большой массой, сравнимой по величине с потребляемой за год извне массой продуктов. В этом случае значительная часть продукта идёт на поддержание живой массы, например на восстановление и пр.

Модель-1 (молодое дерево)

Итак, у нас есть пока неизвестный линейный размер дерева, зависящий от времени (возраста дерева) L(t).

Масса дерева M(t) пропорциональна объёму V(t), который в свою очередь, пропорционален кубу линейного размера:

M(t)=A*L^3(t)

С другой стороны, поступающие вещества пропорциональны площади поверхности корней, которая пропроциональна квадрату линейного размера и тем самым, квадрату кубического корня из массы.

Напомню, что я на этом этапе предполагаю, что вся потреблённая внешняя масса уходит на рост (учитывая и испарение, которое тоже пропорциональн площади поверхности, то есть квадрату линейной величины, и тем самым учитывается коэффициентом пропорциональности). Тем самым, мы получаем "уравнение молодого дерева":

dM(t) = A*M^{2/ t)dt

Это дифференциальное уравнение имеет решение:

3*M^{1/3} = At + B,

То есть, масса дерева (и соответственно - объём) растёт пропорционально кубу времени, а линейные размеры дерева - пропорциональны первой степени от возраста.

Годовые кольца дерева - есть конечная годовая разность от толщины его, пропорциональной L(t), и потому примерно (с точностью до меньшего порядка величин) - постоянны.

Вывод: годовые кольца у молодого дерева в идеальных климатических условиях должны быть постоянной величины.

Но эта ситуация будет сохраняться лишь до тех пор, пока масса дерева не вырастет настолько, что значительная часть продуктов будет уходить не только на рост, но и на самоподдержание (питание старых клеток). Переходим к другому крайнему случаю.


Модель-2 (взрослое дерево)

В этой ситуации уравнение имеет вид:

dM(t) + C*M(t)dt = A*M^{2/ t)dt

или

M'(t) = A*M^{2/ t) - C*M(t)

Так же как и предыдущее уравнение - оно несложно интегрируется (здесь переменные разделены и можно свести решение к интегрированию рациональной функции, иначе - можно взять линейную часть правой части и решить всё уравнение вариацией постоянных). Но для качественного понимания процесса нам не очень нужно видеть само решение. Достаточно заметить (A и C - положительны), что имеется точка стационарности - то значение M, которое обнуляет правую часть дифуравнения. Это некоторая положительная величина, к которой асимптотически притягиваются все решения этого уравнения. Нас, разумеется, интересуют только растущие решения (из физического смысла модели). Тем самым мы видим, что функция массы дерева имеет горизонтальную асимптоту, на человеческом языке это означает, что масса дерева с возрастом должна стабилизироваться (если дерево живёт достаточно долго для этого, с другой стороны сама эта стабилизация выше какого-то предела может означать смерть дерева - всё питание его уходит на кормление старых клеток и не остаётся возможности заменять старые больные клетки на молодые и здоровые). Тем самым, и линейная величина дерева должна с возрастом стабилизироваться, а годовые приращения экспоненциально уменьшаться к нулю. Следовательно, получаем вывод.

Вывод: ширина годовых колец дерева в идеальных климатических условиях с возрастом убывает к нулю.

В эту теорию можно ввести некоторые поправки (что имеет смысл только при некотором количестве наблюдений и измерений), - например, можно предположить, что поступление питательной массы пропорционально не второй степени L(t), а какой-то промежуточной степени d лежащей между 2 и 3. Это предположение, в некотором смысле, эквивалентно утверждению о том, что поверхность корней имеет фрактальную размерность d. (Например, если допустить гипотезу о "золотом сечении" - наличии "божественной пропорции" в веточках корней, тогда фрактальная размерность будет примерно 2,44). Эта поправка изменит ход роста колец молодого дерева (они станут увеличиваться степенным образом), но не изменит качественной картины для дерева взрослого.

Поэтому я считаю, что общий вывод для всей модели будет неизменным: сначала кольца нарастают с постоянной скоростью (или с некоторым увеличением), затем их рост должен спадать к нулю.