Похоже, что я так и не дождусь от Вас ничего, кроме как нехороших слов. Думаю, что обсуждение зашло в тупик. И я не уверен, что его следует продолжать. Для меня ответ на этот вопрос очевиден, но Вы продолжаете упорствовать. Поскольку это обсуждение, возможно, еще кто-нибудь читает, то сделаю еще одну попытку. А то вдруг люди подумают, что Вы правы?

Вы это "определение" точки имели в виду?

Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как "то, что не имеет частей". Другими словами, "точка - это неделимый атом пространства".

В первом определении необходимо раскрыть понятия "часть" и "целое". Кроме того, тут неявно присутствует понятие непрерывности и предельного перехода. Если это сделать строго, то это приведет нас, в конце концов, к аксиоматике теории множеств. Это, конечно, более общий подход, чем просто геометрия. Однако, это, во-первых, отдельная песня. А во-вторых, в аксиоматике теории множеств также есть свои неопределяемые понятия - элемент и множество. Во втором определении содержится явная тавтология, поскольку атом и есть тот самый неделимый объект.

Идем далее…

С современной точки зрения, одно из слабых мест "Начал" Евклида - это определения. Он дает определения таких понятий как точка, плоскость, прямая, т.е. стремится дать определение всем геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне туманны, например:

"Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек".

"Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим".

Евклид в "Началах" разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток "Начал" - неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами "между" и "вне".

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии - одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В "Началах" Евклида была дана следующая аксиоматика... (5 аксиом).

Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.

Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные: аксиоматика Тарского, аксиоматика Биргофа, содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие; аксиоматика Вейля - оперирует неопределяемыми понятиями точки и свободного вектора. Прямая и плоскость определяются как множества точек.

Немного о системе Гильберта…

Аксиоматика Гильберта - система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения:

Лежать между, применимо к точкам;

Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям;

Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам.

Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.



Повторюсь еще раз. В рамках самой геометрии в логически последовательном аксиоматическом подходе точка является неопределяемым понятием. Определить ее можно только через более общие (элементарные) сущности. Но это будет уже неким расширением (обобщением) обычной геометрии.