Пусть число √2=1,414… является периодической десятичной дробью 1,414_(707_), где нижнее подчеркивание обозначает недостающие члены конечной последовательности. Тогда, в соответствии с правилами перевода десятичных дробей в обыкновенные, для числа 1,414_(707_) будет справедлива запись в виде m/n, где m, n – целые числа, n≠0:

1414_707_-1414_/999_000_=1,414_(707_)

Возведем отношение m/n в квадрат и рассмотрим последовательные значения, образующиеся в числителе обыкновенной дроби:

147-14=133; 133²=17689;
14170-141=14029; 14029²=196812841;
1414707-1414=1413293; 1413293²=1997397103849;
141427071-14142=141412929; 141412929²=19997616488359041;
14142170710-141421=14142029289; 14142029289²=199996992410933845521

Порядок и разрядность в расположении цифр полученных приближений числителя: 17689; 196812841; 1997397103849; 19997616488359041; 199996992410933845521, – полностью согласуются с приближением к значению 199_700000_1000, которое должно получиться в случае существования периода у десятичной дроби 1,414…

Возведем отношение m/n в квадрат, записав в числителе значение 199_700000_1000, к которому мы приближаемся на каждом шаге возведения в квадрат числителя обыкновенной дроби (17689; 196812841; 1997397103849; 19997616488359041; 199996992410933845521 и т.д.):

(m/n)²= (1414_707_-1414_)²/999_000_²=199_700000_1000/99_800_1000000=2,00_1.

Полученное число 2,00_1 является десятичным приближением с избытком к дискретному числу 2. То, что мы получили одно единственное приближение 2,00_1, полностью обусловлено требованиями, которые предъявляются к дроби 1,414_707_707_(707_). С одной стороны, она должна быть дробью, период которой отличен от (0) ил (9) – в противном случае число 2 оказалось бы квадратным числом, с другой стороны, ее квадрат должен задавать такое число, которое можно было бы представить в виде десятичной дроби с периодом (9). Если бы квадратом дроби 1,414_707_707_(707_) можно было задать бесконечно много приближений, то мы бы пришли к одному из исключенных условием задачи вариантов. Либо число 2 оказалось бы представимо десятичной дробью с периодом, отличным от (0) или (9), либо сама десятичная дробь 1,414_707_707_(707_) оказалась бы представимой в виде дроби с периодом (9).

Необходимость и достаточность существования одного такого приближения исходит из единственности значения 1,414_, стоящего до начала периода дроби 1,414_707_707_(707_) и приводящего после возведения в квадрат к появлению числа 1,99_800_1 (числа, появляющегося при построении диагонального квадрата, равного ортогональному – см. статью «Постижение иррационального»). Только тогда можно установить десятичную разрядность такого шага приближения, на котором становится возможно нахождение сколь угодно большого числа периодов (707_). Ничто не мешает извлекать квадраты из чисел 2,00_00_1; 2,00_00_00_1; 2,00_00_00_00_1 и т.д., находящихся на числовой прямой ближе к значению 2, и получать соответствующие каждому шагу значения приближений к бесконечной периодической десятичной дроби 1,414_707_707_(707_). Хотя все эти извлечения уже не будут выражаться отношениями целых чисел m и n. То же самое можно сказать о симметрично заданных приближениях с недостатком 1,999_999_; 1,999_999_999_; 1,999_999_999_999_ и т.д.

Кажется необычным то, что вместо точного дискретного числа 2 отношением целых чисел m и n выражается лишь приближение к этому числу. Но, на самом деле, вместо точных дискретных значений мы всегда получаем приближения, когда рассматриваем периодические десятичные дроби. Например, возведем в квадрат дробь 1,(9):
1,9²= 3,61;
1,99²= 3,9601;
1,999²= 3,996001;
1,9999²=3,99960001…
Даже полностью заполнив цифрами 32-разрядный калькулятор мы, разумеется, не получим десятичную дробь 3,(9): 1,999999999999999999999999999999²=3,999999999999999999999999999996… Десятичную дробь 3,(9), в периоде которой стояли бы только девятки, можно получить лишь на умозрительном калькуляторе с бесконечной разрядностью. Тем не менее, это не вызывает никаких сомнений в справедливости тождества 2²=1,(9)²=3,(9)=4. С аналогичными приближениями мы имеем дело, когда рассматриваем десятичные дроби, период которых отличен от (0) или (9). Например, 1,45(3) ²= 2,1112(7):
1,453²= 2,111209;
1,4533²=2,11208089;
1,45333²=2,1121680889;
1,453333²=2,112176808889…
1,453333333333333333333333333333²=2,1121777777777777777777777777768…
Если существует геометрическое и арифметическое обоснование тождества √2=1,414_707_707_(707_), то разве можно просто взять и отбросить гипотезу периодичности? Отчего проистекает уверенность, что все возможные периоды бесконечных десятичных дробей можно непосредственно увидеть на стандартном 32-разрядном калькуляторе?

Надеюсь, это немного прояснит, почему меня нисколько не волнует грязный поклеп, который пытается мне устроить г-н Веревкин. Его глупейшие безрезультатные попытки представить меня сумасшедшим никак меня не беспокоят. При этом я не обвиняю г-на Веревкина в сумасшествии и не отправляю его в «дурдом» (хотя его способность брызгать слюной и «включать тупого» имеет общие черты с неадекватным поведением Миши Саакашвили), но г-н Веревкин совершенно банальный среднестатистический человек, только и всего.