|
Ув. Д. Клещёв!
Я ознакомился с идеями А. Зенкина по Вашей ссылке.
1. Зенкин писал:
"К сожалению, знаменитый диагональный метод Кантора не использует количественных характеристик (т. е. мощностей) множеств, к которым он применяется".
Но это явная нелепость, так как для того, чтобы ввести понятие мощности множества, нужно сначала показать, что существуют бесконечные множества, отличные от счётного, что и демонстрирует диагональный метод Кантора.
2. По поводу бесконечного процесса получения диагональным методом действительного числа, которое не входит в счётное по предположению множество действительных чисел, А. Зенкин писал:
"... в природе не существует ни логических, ни математических поводов, причин или других оснований, чтобы прервать или остановить этот бесконечный процесс".
Непонятно, зачем нам вообще запускать этот процесс, и тем более его прерывать - нам нужно лишь доказать существование данного числа, а не конкретно его вычислить. Кроме того, несмотря на то, что математические объекты существуют вне пространства-времени, временные процессы (в том числе и бесконечные) вполне успешно математикой моделируются, и суммирование бесконечных рядов также успешно проводится. Но интересно, что сам Зенкин этот бесконечный процесс не прерывает, а получает некое число (замечу, что таким образом Зенкин воспользовался понятием актуальной бесконечности), которое потом добавляет в данное, но по доказанному уже счётное подмножество множества действительных чисел, и по индукции продолжает этот процесс до бесконечности, не прерывая и его. Ну и что же он получает? Ну, естественно, снова счётное подмножество множества действительных чисел.
3. Сравнительно недавно разработанный А. Робинсоном нестандартный анализ (см., например, М. Девис "Прикладной нестандартный анализ" "Мир" М. 1980), действительно, обходится без понятия иррациональных чисел. Он заменяет систему действительных ( рациональных, иррациональных, переменных бесконечно малых и бесконечно больших чисел) на систему гипердействительных (рациональных и постоянных бесконечно малых и бесконечно больших) чисел.
Американский математик Э. Нельсон постулирует, что "... структуры обычной математики, кроме обычных объектов, содержат ещё некоторые другие - нестандартные. Для наглядности можно считать, что до ознакомления с нестандартным анализом у нас не хватает остроты зрения, чтобы разглядеть эти нестандартные элементы. Например, мы не замечаем, что среди действительных чисел имеются постоянные бесконечно малые и бесконечно большие, подобно тому, как в свое время, не подозревали о существовании отрицательных или иррациональных чисел".
Я полагаю, что на числовой оси мы видим эти нестандартные элементы - каждое рациональное число вместе с множеством постоянных бесконечно малых ("монадой" этого числа) мы считаем бесконечным множеством иррациональных чисел в бесконечно малой окрестности этого числа. Постоянные бесконечно малые в "чистом", так сказать, виде ("монада" нуля) - это бесконечное множество иррациональных чисел в бесконечно малой, образно говоря, до "ближайшего" рационального числа окрестности нуля, хотя, как известно, такого "ближайшего" к нулю рационального числа не существует.
Нестандартный анализ, несомненно, является более последовательной теорией, чем стандартный анализ и лучше соответствует физической реальности. Хочу отметить, что с точки зрения нестандартного анализа актуальная бесконечность существует, так как все постоянные бесконечно большие числа находятся именно в бесконечно малой окрестности бесконечно удалённой точки - в потенциальной бесконечности им негде располагаться.
В свете всего вышесказанного я считаю, что в работе А. Зенкина нет каких-либо идей, заслуживающих внимания. Не говоря уже о том, что в английском варианте своей статьи он привёл совершенно идиотское высказывание известного шарлатана З. Фрейда.
|