labour (labor) – труд, laboratory – лаборатория

labour (британский вариант написания)
chiefly British English spelling of labor (q.v.); for spelling, see -or.

labor (n.) (урочная работа, дело, проект; телесное напряжение, сложности, заботы); из старофранцузского «labor» - работа, труд, тяжелая работа); из латинского «laborem» (именительный падеж – «labor») - труд, усилия, продукт труда; происхождение неизвестно; возможно из понятия «быть под ярмом»; родственно «labere» - ковылять, трястись
c.1300, "a task, a project;" later "exertion of the body; trouble, difficulty, hardship" (late 14c.), from Old French labor "labor, toil, work, exertion, task" (12c., Modern French labeur), from Latin laborem (nominative labor) "labor, toil, exertion; hardship, pain, fatigue; a work, a product of labor," of uncertain origin, perhaps originally from the notion of "tottering under a burden," and related to labere "to totter."

1828:
LABOR – выполнять тяжелую работу, трудиться; из λαβέω, λαβο – предпринимать, брать на себя обязательства (этих слов у Бикса нет). Из “labo”.
LABOS – то же, что “labor”.

1675:
LABOUR (labor, L.) – боль, тяжелый труд, тяжелая работа, работа, родовые муки.

Надо полагать, тут задействованы два русских слова:
1. Раб (робил). Замены «л» - «r» и в обратном порядке. РБ (Л) – RBL – LBR – labor.
2. Родила – те же замены, что и в предыдущем слове + «д» - «b». РДЛ – RDL - RBL – LBR – labor.

laboratory (n.) (здание, построенное для научных экспериментов); из среднелатинского «laboratorium» - место для труда или работы; из латинского «laboratus», причастия настоящего времени от «laborare» - работать.
c.1600, "building set apart for scientific experiments," from Medieval Latin laboratorium "a place for labor or work," from Latin laboratus, past participle of laborare "to work" (see labor (n.)). Figurative use by 1660s.

Интересно, что в 1675 слово употреблялось только в значении «место для химических опытов», а лаборант – тот, кто помогает химику.

Работа Этимологический словарь русского языка
работа Заимств. из ст.- сл. яз. Из общеслав. *orbota, суф. производного от *orbъ (> рабъ). Ср. точное соответствие в нем. Arbeit. Работа первоначально — «тяжелая, подневольная работа, рабство». Ср. труд, страда (см. труд, страдать).

Фасмер:
работа диал. робота, укр. робота, др.- русск. робота "работа, рабство, неволя", ст.- слав. работа δουλεία (Супр.), болг. работа "работа", сербохорв. работа "барщина", словен. rаbо̣̑tа, чеш., слвц. robota "барщина", польск., в.- луж., н.- луж. rоbоtа. Производное от и.- е. *orbhos (см. раб, ребенок), родственное гот. arbaiÞs "нужда", д.- в.- н. аr (а) bеit ж. "работа, тягота, нужда" (Торбьернссон 1, 59; Клюге-Гетце 22).

Однозначно нет. Тут корень «- р», связаный с землей. Так же и «труд». Что-то, вроде, бить землю, сохранилось в малороссийском наречии – робить. Если в дальнейшем этому термину приписали понятие «раба», то это дела поздние. А уж приплетать сюда ребенка – вообще глупо. Видимо, изначально, ребенок – от «род», что и сохранилось в английском языке. Так же «рад», «раденок».

Та же ситуация с «холоп», от «хлопоты», «хлопец» - помощник по хозяйству.

Даль (рабовать):
южн. зап. пск. грабить (Словарь Академии: ошибочно делать рабом(!); это немецк. rauben). Яны били Христа, рабовали, стихер

Странно, у Даля нет статьи «работа». А вот мысль о «грабить» - интересная. Понятно, что в основе «гребу» (загребаю), отсюда англ. «robber» - грабитель. Отпадение «г» - вариант, довольно распространенный. Не могло ли слово «работа» быть произведено из этого слова, т.е. «гребу» (грабли), просто со временем отпало «г». Корень «- р» остется неизменным.