|
Поигравшись с методом взаимных расстояний и cфабриковав на нем угодную датировку, ЕиД формулируют так называемый коллективный метод суть которого достаточно проста и понятна.
Датировка по быстрой звезде осуществляется с помощью сравнения долготных и широтных ошибок координат звезды NL=dLq*соsB-<dLs>*cosB, NB=dBq-<dBs> на момент времени t. Где dLq, dBq - отклонения долготы и широты быстрой звезды от координат указанных в Альмагесте, <dLs>, <dBs> - отклонения долготы и широты усредненной грууповой ошибки от координат указанных в Альмагесте.
Проще всего поступить следующим образом: для каждой звезды, по которой проводится датировка необходимо подобрать такой момент времени t*, чтобы невязки по долготе NL и широте NB были минимальны. В результате получится множество датировок, после статистической обработки которого будет определена дата составления каталога.
Удобство этого метода состоит в том, что для каждой звезды можно определить свою погрешность датировки, которая будет зависеть не только от скорости звезды, но и от индивидуальной ошибки, которую дает окрестность.
Но ЕиД поступают по другому. Они оценивают примерную дату составления катлога нулевым годом и составляют уравнение, описывающее поведение поведение невязок по долготе и широте. Для широты это уравнение будет выглядеть следующим образом:
dBq -<dBs>= (1/60)(Vq*B-Vs)*Tcat dBa
где Vq-скорость быстрой звезды по широте, Vs - скорость окрестности по широте, dBa - случайная ошибка измерения.
Откладывая по оси абцисс значения (1/60)(Vq*B-Vs), а по оси ординат dBq -<dBs> авторы получают множество точек, через которое с помощью линейной регрессии, проводят прямую, рис.7. Предполагаемая дата составления каталога определяется по наклону регрессионной прямой:
Tcat=60*K.
В результате, ЕиД получают датировку по долготам и широтам Tcat=-90 /120 лет.
Далее, ЕиД заявляют:
"Отметим, что здесь, в отличие от <12>, не получаем индивидуальных датировок каталога по отдельным звездам, а используем всю выборку быстрых звезд для коллективной датировки каталога и исключения сильно отклоняющихся измерений."
Звучит смешно. На самом деле, бессмысленно выдумывать понятия "датировки по отдельным звездам" или "датировки по всей выборке быстрых звезд". В случае, когда необходимо корректно статистически обработать эксперимент, гораздо разумнее получить датировки по отдельным звездам, а затем вычислить финальную датировку. Предпочтение состоит в том, что в этом случае, каждой датировке можно приписать свое значение погрешности, которая зависит не только от скорости звезды и от ошибок измерения координат звезд сравнения. Когда ЕиД проводят регрессионную прямую сразу по "всем быстрым звездам", они вынуждены предположить, что погрешности всех датировок одинаковы. Что неправильно.
Для проверки результата датировки ЕиД, я распечатал рис.7 на миллиметровой бумаге и определил координаты обозначенных точек. Координаты точек центральной области я определял из другого рисунка выполненного в бОльшем масштабе, но вполне возможно, что некоторые точки вблизи нуля были пропущены. Однако их влияние на датировку должно быть незначительным, а наибольший вклад в нее должны давать звезды с бОльшими скоростями.
![]() 
Рис.1 Определение датировки по наклону регрессионой прямой ЕиД
Вычисленный наклон регрессионной кривой равен K = -1.41 /2.07, откуда следует значение датировки и погрешности -83 /-124 года, то есть мы молучили тот же результат, что ЕиД.
Начнем обсуждение датировки с погрешности. Из результата проверки становится понятным, что погрешность ЕиД учитывают только из аппроксимации кривой. Это не правильно. Реальная погрешность будет гораздо выше, поскольку каждая точка на плоскости имеет свою погрешность как по оси абцисс, так и по оси ординат, поэтому, даже две соседние точки(=звезды), обладающие примерно одинаковыми скоростями будут оказывать РАЗНОЕ влияние на датировку.
ОСЬ АБСЦИСС. Наибольшую погрешность будут иметь медленные звезды, у которых скорость по долготе или широте не значительно отличается от средней скорости окрестности. Поэтому, включение в окрестность сравнения звезды, обладающей даже сравнительно небольшой скоростью по проекции(долготы/широты) неизбежно приведет к смещению точки по оси абсцисс. Взглянув на рис. 7 не трудно убедиться, что медленных звезд |V|<~0.15 на нем не мало. Этот эффект будет уменьшаться с увеличиением числа звезд сравнения Nref и будет незаметен на быстрых звездах. ЕиД исследуют зависимость датировки от параметра Nref, однако регрессия на рис.7 построена для Nref=6, т.е. результат будет зависеть от скоростных звезд окрестности. Однако авторы даже не приводят алогритма, по которому они вычисляли среднюю скорость окрестности. Собственно не поняно вычисляли они эту скорость в принципе, или заранее определили равной нулю.
ОСЬ ОРДИНАТ. Значительно бОльшие погрешности будут получаться по оси ординат, причем эти погрешности зависят не от собственной скорости звезды, а от звезд сравнения. Качество отбора звезд сравнения, в полной мере можно было оценить в первой части статьи, где ЕиД пихают в окрестность все подряд, как правило игнорируя ненадежно промеренные звезды. Нет никакой гарантии в том, что окрестности остальных 30-40 звезд сравнения составлены лучше.
Групповое отклонение звезд сравнения от координаты Альмагеста <dBs> ЕиД определяют не по среднему, а по медиане. В данном случае, когда почти в каждой окрестности присутствуют звезды со значительными ошибками в координатах это плюс, поскольку, если считать по среднему значению, один единственный выброс может существенно отразится на результате, особенно, когда Nref не велико (Nref=6).
ПРИМЕР: приведенная ранее окрестность Сириуса на 1500 год.
№...№BSC...dL..dB
0 ..2491...-18.-20
1*..2443...-47..-6
2*..2596..-216!.18
3*..2429...-51...7
4*..2571....-6.-16
5*..2574...-17..13
6*..2657...-28.-18
<dBs>=-60.83 - по среднему и <dBs>=-37.5 - по медиане. Казалось бы, определение групповой ошибки по медиане предпочтительнее, однако использование медианы корректно в тех случаях, когда оправдано предположение о нормальном распределении ошибок, т.е. метод будет надежно работать на большой выборке данных. Но, результат представленный на рис.7 вычислен для Nref=6, а для столь малого числа звезд, распределение ошибок будет отличаться от нормального. Поэтому, если среднее вычислять по медианам и пользоваться небольшим значением Nref, необходимо исследовать рапределение ошибок на близость к нормальному распределению. С ростом Nref ситуация улучшается, поскольку распределение ошибок становится все ближе к распределению Гаусса.
На рис.8 авторы приводят зависимость локальной погрешности по широте и долготе от числа звезд сравнения для сотни самых быстрых звезд. Из рис.8 ЕиД делают вывод, что ошибки по обеим координатам перестают уменьшаться начиная Nref=6. Более того, из рисунка следует, что ошибка стабилизируется при значениях Nref=9-15, а при Nref=19-20 уменьшается. Такое поведение очень странное, поскольку включение в окрестность дополнительных звезд должно приводитьк увеличению радиуса окрестности. Впрочем, рис. 8 не является репрезентативным и характеризует поведение ошибки так же, как и понятие "средней температуры пациентов в больнице".
С целью определения реальных ошибок, рассмотрим зависимость групповой ошибки от многочисленности окрестности для Кейда, Арктура, Тау Кита, Альсафи и Сириуса.
На приведенных ниже рисунках, красным и оранжевым цветом обозначены ошибки по долготам, вычисленные по среднему и по медианам, а темно-синим и синим цветом обозначены ошибки для широт.
ДЛЯ КАЖДОЙ ИЗ ОКРЕСТНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛИМ ТРИ ХАРАКТЕРИСТИКИ:
1) ВЫХОД НА СТАЦИОНАР. Найдем Nref для каждой из координат такое, при котором значения по среднему и по медиане не отличаются друг от друга более чем на 2' и выходят на стационар.
2) УСТОЙЧИВОСТЬ ГРУППОВОЙ ОШИБКИ ОТ МЕТОДА РАСЧЕТА СРЕДНЕГО. Оценим погрешность групповой ошибки путем сравнения результатов ее вычисления по медианам и по среднему для Nref=6.
3) УСТОЙЧИВОСТЬ ГРУППОВОЙ ОШИБКИ ОТ МНОГОЧИСЛЕННОСТИ ОКРЕСТНОСТИ. Оценим устойчивость групповой ошибки для каждой из координат, т.е. найдем как она изменяется при добавлении/исключении одной звезды окрестности Nref=4, Nref=6 и расширения окрестности до Nref=10.
ПРИМЕЧАНИЕ. Приведенные ниже результаты вычислены с помощью программы table. Отбора звезд для окрестностей не проводилось - я следовал методике Дамбиса-Ефремова. Исключение - окрестности Кейда и Сириуса. В окрестность Кейда я не включил звезды созвездия Зайца по той причине, что они имеют слишком отличную от других окрестностей групповую ошибку. В окрестности Сириуса я удалил звезду Йота, которая имеет ошибку в долготе более 3.5 градусов. Составленный радиус окрестности ограничивается ~26 градусами, хотя реальная окрестность намного меньше. Полный список звезд из которых были сформированы окрестности, я приведу в отдельном сообщении или прикреплю в виде файла.
КЕЙД.(Высокая скорость по долготе и широте.)
Рис.2 Групповые ошибки в окрестности Кейда.
1) Стабилизация ошибок просисходит при Nref=20 для долготы и Nref=26 для широты.
2) Для долготы dL=2, для широты dB=7. (Разница между "средним" и "медианой" при Nref=6.)
3) Ошибка долготы ведет себя устойчиво и не изменяется более 1'-2' при изменении Nref=4;5;6 и 10. Ошибка широты не устойчива, при изменении Nref= /-1 меняется на d2L=3'. При увеличении окрестности до Nref=10, ошибка возрастает до d2L=8'
АРКТУР.(Высокая скорость по широте.)
Рис.3 Групповые ошибки в окрестности Арктура.
1) Стабилизация ошибок просисходит при Nref=29 для долготы и Nref=26 для широты.
2) Для долготы dL=4, для широты dB=2. (Разница между "средним" и "медианой" при Nref=6.)
3) Ошибка долготы не устойчива, и при увеличении Nref до 10, ошибка возрастает до d2L=10'. Ошибка широты устойчива и не изменяется более 2' для Nref=4;5;6 и 10.
ТАУ КИТА.(Высокая скорость по широте.)
Рис.4 Групповые ошибки в окрестности Тау Кита.
1) Стабилизация ошибок просисходит при Nref=29 для долготы и Nref=26 для широты.
2) Для долготы dL<1, для широты dB=2. (Разница между "средним" и "медианой".)
3) Ошибка долготы устойчива, и слабо зависит от Nref. Ошибка широты устойчива только на интервале Nref=4-6, но при увеличении окрестности до 10 звезд достигает 15'!
АЛЬСАФИ.(Высокая скорость по долготе.)
Рис.5 Групповые ошибки в окрестности Сигмы Дракона.
1) Стабилизация ошибок просисходит при Nref=25 для долготы и Nref=30 для широты.
2) Для долготы dL=4, для широты dB=11. (Разница между "средним" и "медианой" при Nref=6.)
3) Ошибка долготы устойчива, и слабо зависит от числа звезд сравнения до Nref=15. Ошибка широты устойчива только на интервале Nref=4-6, но при увеличении окрестности до 10 звезд достигает 14'.
СИРИУС.(Высокая скорость широте, средняя скорость по долготе.)
Рис.6 Групповые ошибки в окрестности Сириуса.
1) Стабилизация ошибок просисходит при Nref=7 для долготы и широты.
2) Для долготы dL=4, для широты dB=4. (Разница между "средним" и "медианой" при Nref=6.)
3) Ошибка при Nref=4-6 изменяется в пределах 3' уменьшается до 2' при Nref=15 . Ошибка широты при Nref=4-6 изменяется в пределах 3', но при увеличении окрестности до 10 звезд уменьшается до 2'.
ПОДВЕДЕМ ИТОГ СРАВНЕНИЯ ОКРЕСТНОСТЕЙ.
Устойчивость по методу расчета групповой ошибки.
Выравнивание ошибок по медиане и среднему свидетельствует о малой погрешности в определении ошибки. Отличие этих значений при заданном Nref говорит либо о выбросах, которые получаются при расчете по "среднему" или о том, что распределение ошибоки не гауссово, при расчете по медианам. На расматриваемом наборе звезд, при Nref=6 разность ошибок "по медианам" и "по среднему" отличается от 1' до 12', что свидетельствует о низкой точности определения "среднего".
Устойчивость по числу звезд сравнения
Групповые ошибки, определенные с помощью медиан для Кейда и Тау Кита по широте, сильно зависят от Nref. Групповые ошибки Кейда и Альсафи по долготе, Арктура по широте и Сириуса по обоим координатам, относительно устойчивы относительно изменения Nref, хотя и подвержены незначительным колебаниям до 3'-4'.
Таким образом, значение погрешности по оси ординат в самом лучшем случае будет порядка 10', а в случае плохих окрестностей возрастет до 20'-30', то есть эллипс на рис. 7 растянется по оси ординат. Использование одинаковой погрешности для всех звезд становится совершенно неправомерным, поскольку каждая точка на рис.7 будет иметь свою индивидуальную ошибку по оси абсцисс и по оси ординат. ЕиД определяют погрешность датировки только через погрешность регрессионной аппроксимации, которая не учитывает указанные выше ошибки.
О РАДИУСАХ ОКРЕСТНОСТЕЙ
Рис.7 Зависимость числа звезд сравнения от радиуса окрестности.
Рассмотренные ранее окрестности Кейда, Nref=20 имеют радиус орядка 18-20 градусов. Понятно, что при таком радиусе в окрестность будут попадать звезды и разных созвездий, которые не имеют никакого отношения к окрестности. Напомню, что в основе датировки по "коллективному методу" лежит предположение о соответствии отклонений координат исследуемой звезды и окрестности звезд сравнения.
Авторы предполагают, что систематическая ошибка в используемой ими окрестности равна нулю, что верно только в случае многочисленной и компактной окрестности. Возможно, что для Nref=6 это предположение справедливо для большинства окрестностей, но не для всех - еще один фактор, который не учитывают Ефремов и Дамбис.
С ростом Nref, мы гарантировано добавляем в окрестность быстрой звезды звезды из других окрестностей, с включением которых, систематическая ошибка равной нулю не будет. Поэтому, график на рис.8 при больших значениях N, смысла не имеет.
В то же время, поведение ошибок на рис.8 может быть объяснено достаточно просто. При расчете по медианам, ошибка определяется по одной или двум центральным точкам, в зависимости от четности их числа. С ростом радиуса окрестности R значения ошибок по отдельным звездам будут возрастать, поскольку мы начнем набирать звезды из других окрестностей. В случае, когда ошибки будут добавляться и в плюс и в минус, это не приведет к смещению центра. Более того, поскольку число точек в центре интервала будет уплотнятся, определенное по медиане значение будет подвержена меньшим изменениям при возрастании Nref.
Итак, реальная погрешность датировки каталога значительно выше, чем декларируют Дамбис и Ефремов. В связи с этим, было бы интересно оценить устойчивость самой датировки. За время ~10 веков большинство звезд окрестностей изменят свое положение и групповая ошибка окрестности будет другой. Это особенно касается звезд со скоростью V<|0.5|, которых на рис. 7 очень много. Как изменится время датировки, если предположить время составления каталога Т0=1000, а не 0? Но ЕиД этот вопрос не исследуют.
Астрономия и Научная Хронология
|
