|
Недавно на Консилиуме было размещено следующее сообщение:
http://civ.icelord.net/read.php?f=3&i=47472&t=47472
***********************************
Астрономия - без перспективы
Автор: dist
Дата: 20-сен-04 11:19
Ситуация с параллельными прямыми, уходящими за горизонт, предельно прозрачна: они всегда видны как кривые ЧЕТВЕРТОГО порядка и не являются, следовательно, коническими сечениями.
Это интуитивно абсолютно правильно понял Сезам, поддержал Жариков, заколебался Эллин и абсолютно не поняли Чудак со Святичем.
Господа, встаньте перед любым зданием и посмотрите на линию его крыши (она, Чудак, вне всякого сомнения, прямая линия) и увидите - это КРИВАЯ, максимум которой находится на перпендикуляре, опущенном от наблюдателя на здание, а края которой на бесконечности пересекаются с горизонтом (если мерить угол наблюдения в радианах - от -pi/2 до pi/2).
Кстати, ясно, почему прямая видна в виде кривой - по мере увеличения расстояния до наблюдаемой и точки обратно пропорционально уменьшается и ВИДИМАЯ высота дома.
Ничего не стоит вывести уравнение этой кривой.
Пусть, для простоты, высота дома равна 1, и расстояние от наблюдателя до дома тоже 1. Тогда расстояние до подъезда, видимого под углом fi, равно 1/cos(fi), а ВИДИМАЯ высота соответствующего подъезда - 1(1/cos(fi))=cos(fi).
Итак, h=cos(fi), и, как правильно заметил Сезам, при fi=+/-pi/2 h=0.
Луна, находясь на левой, восходящей части синусоиды, смотрит выпуклостью вверх, в то время как Солнце находится на убывающей части синусоиды и даже успело сесть за горизонт.
Жарикову.
Я всю жизнь преподаю, поэтому, возможно, и удается на форуме поднимать интерес к казалось бы тривиальным темам.
Эллину.
Я был не прав, когда полагал, что прямые видны как дуги кругов. Как видите, y=cos(fi) - это совсем не круг. Чтобы написать уравнение этой кривой в декартовых координатах, подставим fi=arctg(x) и получим: y=1/sqrt(1+x^2). Возводя уравнение в квадрат и избавляясь от знаменателя, получаем, y^2*(1+x^2)-1=0 - уравнение кривой четвертого порядка. В нуле h равна 1 (когда наблюдатель смотрит на дом перпендикулярно), на бесконечности - убывает как 1/x.
С точки зрения наблюдателя, он эту кривую видит как h=cos(fi), которая пересекается с горизонтом под углом 45 градусов.
На самом деле, приведенное рассуждение нужно немного уточить, но для качественного объяснения картинки этого вполне достаточно.
Сезаму.
Все ТРАДИЦИОННЫЕ картинки художников, излагающих перспективу, НЕВЕРНЫ! Сетка прямых (обычный прямоугольный паркет) видна не как сетка прямых, а как сетка синусоид. Я это легко рисую на бумаге, попробуйте изобразить аналогичную картинку на компьютере (можно даже составить компьютерную программу, которая сама нарисует эту сетку).
Художники пользуются лишь аппроксимацией - графики функции y=k*cos(x) вблизи нуля выглядят как горизонтальные прямые, которые художники ничтоже сумняшеся и рисуют, а на краях - как прямые линии y=k*x, которые и кажутся параллельными рельсами, уходящими вдаль. На самом деле это не прямые, а семейство КРИВЫХ y=k*cos(x).
Чудаку и Святичу.
Еще раз подойдите к любому дому и посмотрите наверх. Только сначала снимите кепку.
Астрономам.
Странно, что они об этом очевидном и основополагающем эффекте перспективы при астрономических наблюдениях не пишут в своих популярных пособиях.
А непопулярных я пока не нашел.
************************************
Заявления dist'а - он же Владимир Анатольевич Иванов, выпускник колмогоровского ФМШ-18, мех-мата МГУ и к.ф.-м.н.,- повергли меня в оторопь. Особенно абсурдным показалось утверждение о "ЧЕТВЁРТОМ" порядке "видимой" линии.
Основы проективной геометрии проходят в МГУ на мех-мате во II семестре первого курса, и мне до знакомства с новопарадигмальным открытием Иванова казалось, что в этой науке если не всё, то многое известно со времени Кеплера и Декарта (и даже приписывается Брунеллески и Альберти).
Не решаясь сразу вынести приговор теории Диста, сходил посоветоваться на математический форум:
http://physics.nad.ru/matboard/messages/12759.html
Можно последить и там - что математический народ думает? Кто нас дурит Дюрер или Дист:
Albrecht Durer. Draughtsman Drawing a Recumbent Woman. 1525. Woodcut.
И вот после этого вступления давайте посмотрим - что же написал Иванов и что он доказал.
К сожалению, Иванов не беспокоится о том, как определить те понятия, которые он употребляет. И во многом только от этого его рассуждения кажутся правильными и строгими.
1. Вот он пишет о "ВИДИМОЙ высоте". Что это такое? Только посмотрев на его формулу:
"а ВИДИМАЯ высота соответствующего подъезда - 1(1/cos(fi))=cos(fi)."
которую он, якобы, доказал, можно догадаться, что "видимая высота" это длина визира, поставленного на расстоянии 1 и визуально достающего до высоты "подъезда". Жаль, что нет соотв. картинки (нарисуйте её сами) - можно убедиться, что из пропорции прямоугольных треугольников действительно следует равенство отношений:
h:1 =  1/cos(fi))
Обратите внимание, в записке Эллину h заменяется на y. x-ом объявляется tg(fi) и из этого мы понимаем, что х - это расстояние от фронтальной точки (ближайшей) до "подъезда". Эти x и y, действительно связаны соотношением:
y^{-2}-x^2 = 1
что действительно является уравнением четвёртого порядка.
2. Однако! В этом рассуждении содержится некоторая важная путаница. А именно: y участвует в качестве "видимой высоты", но х-то в качестве реального, а не видимого расстояния!! "В огороде бузина, а в Киеве дядька" - называются такие рассуждения.
3. А как же на самом-то деле? На самом деле всё гораздо проще и понимаемо на уровне науки 17 века. Через глаз наблюдателя (точка) и прямую проводится плоскость (единственная, если точка не лежит на прямой). Что такое проекция? Это пересечение упомянутой плоскости с поверхностью проекции. Художники проектируют на плоский лист бумаги (как это нарисовано у Дюрера, и в этом случае пересечение двух плоскостей даёт прямую.
Но дист решил сделать несколько иначе (хотя и не формулирует это точно. Он проектирует прямую либо на сферу радиуса 1 (с центром в глазе), либо - на цилиндр с вертикальной осью, проходящей через глаз и радиусом 1. В первом случае пересечение будет кругом большого радиуса (то есть окружностью радиуса 1), во втором случае - цилиндрическое сечение - эллипс, с малой полуосью 1 и большой sqrt(2). И та и другая кривые имеют порядок ДВА, а не дистовы "ЧЕТЫРЕ".
3. Дист позабыл дать определение порядка кривой (а это не всегда есть степень уравнения даже на плоскости, и тем более - в пространстве, где кривая задаётся системой уравнений). Так вот, степень кривой - это число точек пересечения её с "общей" (то есть с "почти" всякой) гиперплоскостью над алгебраическим замыканием основного поля (в нашем случае - это комплексные числа). Эту величину можно вычислить и как максимум размерности фактора координатного кольца кривой по линейному соотношению (но только в случае алгебраических кривых). Все эти сложности не нужно знать, когда мы имеем на руках окружность или эллипс. Только сумасшедшие могут сомневаться в том, что они имеют степень 2.
Но эти рассуждения нужны для цилиндрического случая. А именно тогда, когда мы рассматриваем эллиптическое сечение в цилиндрических координатах (fi, y). Тогда у нас на руках "косинусоида" y=cos(fi). Никто не может нам помешать записать уравнение эллипса в цилиндрических координатах. Но в этом случае нам нужно понимать, что для такой замены кривая становится неалгебраической и автоматически возникнут сложности с определением степени. Есть какой-то способ определения степени через когомологии (я сейчас его запамятовал - смотрите книгу Робина Хартсхорна), который даст безкоординатное правило вычисления. Но в этом случае мы должны получить именно 2, поскольку в аффинных координатах ответ именно таков.
Резюме:
Я совершенно не комментирую астрономические рассуждения Диста, потому что просто не читал их и не думал об этом. Поступил так оттого, что даже изучение элементарно-математического материала в извратном изложении Иванова заняло у меня пару часов. Если он наделал столько туфты в вещах банальных, следует ли надеяться, что опираясь на эту туфту, Иванов совершил какое-нибудь астрономическое открытие? Я в сказки не верю.
Меня удивляет то, что некоторые люди, которые, вроде бы, являются квалифицированными математиками (например, уважаемая Берг) так дёшево купились на лабуду Иванова. Неужели какой-то Святич, считающий, что египетскую пирамиду можно изготовить из сена знает математику лучше всех математиков ПЦ? Это было бы печально. Я надеюсь, что Диста поддержали только от партийной солидарности, не читая его галиматьи. Кто-нибудь её читает, кроме Святича?
Назидание:
Несколько лет Иванов ведёт на Консилиуме антиматематическую кампанию, выступая, например, против алгебры, "абстрактной чепухи", перепевая в этом серенады Арнольда. Математика не отомстила Арнольду, но она отомстила Иванову. Теперь Иванов математики не понимает.
РАЗЖАЛОВАНИЕ АЛЬФРЕДА ДРЕЙФУСА
Журнальная иллюстрация 1895 г.
А фундаментальный ("кармический") смысл в этом таков: НП, выступая как "сверхнаука", то есть - как ревизия научной парадигмы, начинает иметь с наукой очень мало общего, превращаясь в что-то нелепое и смешное.
|
