Леонид Левкович-Маслюк

РЕФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

(интервью с А.Т. Фоменко)

Курсы нового

Какие же новые дисциплины вы намерены включить в программу?

- Почти на всех кафедрах есть спецкурсы под условным названием "Дополнительные главы". Возможно слияние двух программ - нынешнего обязательного курса и "допглав". При этом будет отсеян ряд старых тем и добавлены новые. Что именно убрать и добавить - мы сейчас подробно обсуждаем.

Обновление программы в очень большой мере будет обновлением понятий. Скажем, в обязательный курс сейчас не входит общая теория гомологий (см. врезку. - Л.Л.-М.). Это классический раздел, но в последние годы он сильно расцвел, в том числе в приложениях к физике. Этот язык студенты должны осваивать. Еще один язык - геометрическая теория функций, функции Морса - тоже в той или иной форме будет введен в обязательный курс. Таких примеров много. Но обновление вовсе не означает добавления в курсы массы новых теорем. В первую очередь оно заключается во введении и осмысливании новых понятий.

Похоже, упрощение курсов не планируется?

- Нет, упрощать программу (как и сильно усложнять ее) мы не будем. Упрощение категорически не для мехмата, это как раз идея бакалавриата - упрощенный курс за три-четыре года. Но выпускать в жизнь не совсем "доделанного" математика - значит калечить судьбу ребят. Не потому, что студент за пять лет выучит больше теорем, чем за три. Дело не в теоремах. Многие теоремы на практике не понадобятся. Скажем, формула бинома Ньютона никому из нас в реальной жизни не потребовалась ни разу. Но мы же воспитываем специалиста не как ящик, в котором лежит набор теорем, - мы воспитываем умение логически мыслить. Вот чего мы добиваемся, и мы хотим объяснить это чиновникам, которые заставляют нас вводить двухуровневую систему. Ведь в итоге бакалавр может оказаться странным существом - он поверхностно изучит элементы разных разделов математики, но не приобретет навыков идеологического встраивания в ее современные приложения и будет, думаю, испытывать от этого комплекс неполноценности.

Будет ли в новых курсах мехмата учтена математика, связанная с компьютерной, информационной революцией?

- Да, разумеется, на мехмате многое делается в этом направлении, особенно на кафедре дискретной математики, теории интеллектуальных систем, теории чисел, ряде других. Несколько лет назад я организовал на факультете большой семинар по квантовой информатике. Наша кафедра почерпнула оттуда хорошие геометрические задачи, которые потом пустили в активную работу со студентами и аспирантами, еще на нескольких кафедрах возникло заметное движение, вдохновленное квантовыми вычислениями. Но потом мы этот семинар приостановили, так как пришли к выводу, что нам, математикам, пока рановато включаться в конкретную прикладную деятельность по созданию КК в железном виде. По моему ощущению, в этой области наряду с замечательными идеями есть и очень туманные спекуляции. Многие идеи при тщательном их продумывании воспринимаются нами с большим подозрением, по крайней мере они до сих пор не обоснованы. Впрочем, в новые программы некоторых кафедр элементы квантовой информатики могут войти.

Могу назвать еще компьютерную геометрию (КГ). Это огромная, очень интересная сфера деятельности, там есть замечательные теоретические задачи. На нашей кафедре уже года четыре читается спецкурс по КГ, мы написали учебник (мгновенно раскупленный), работаем в области КГ вместе с коллегами из Японии и Сингапура. Это одна из тем, которые я постараюсь ввести в наше обязательное преподавание.

Как быстро планируется провести реформу?

- Думаю, за три-четыре месяца будет составлен план реформирования программы факультета. А сама реформа потребует, видимо, около года.

Принцип кирпича

Вы берете за образец программу какого-нибудь западного университета?

- По инициативе ректора МГУ Виктора Антоновича Садовничего было сделано очень полезное дело - сравнение программ мехмата по математике и механике с программами ведущих вузов мира. В течение года все наши кафедры вели эту огромную работу. Была, опять-таки, построена матрица: по столбцам выписали 20–25 лучших университетов (Кембридж, Гарвард, Оксфорд, Эколь Нормаль и др.), а по строкам - темы, представленные в программах. На пересечении строки и столбца ставилась отметка - есть ли данная тема в данном вузе. Мы использовали наши программы, изучили вывешенные в Интернете программы зарубежных вузов. Мы также опросили коллег, работающих в этих вузах, и они дали ценные комментарии к программам: что акцентируется, что нет, и т. п.

И что же оказалось?

- Главных выводов два, приятный и не очень. Приятный вывод: мехмат уверенно занимает первое место в мире по количеству изучаемых тем (учитывая обязательные курсы и спецкурсы). Что такое "тема" - вопрос сложный, мы подошли к нему так: взяли основные учебники (наши и западные) - по топологии, геометрии, дифференциальным уравнениям, другим разделам математики - и использовали перечень тем из оглавлений. Программы курсов - это тоже перечень тем. Так вот, в этом смысле по количеству тем мехмат держит первое место, далее, на уровне 60% от нашего объема, следуют Гарвард и Кембридж.

Ну а второй вывод, неприятный, - мы явно проигрываем по аспирантуре. И количество изучаемых в аспирантуре тем, и отдача аспирантов в сравнении с ведущими западными вузами у нас заметно меньше.

Объяснение таково: наше образование построено, грубо говоря, по принципу кирпича. Пять лет учебы - единый кирпич, хотя в нем много разных прожилок и струй. Студенты в общем-то усваивают более-менее весь кирпич. Что, конечно, для образования очень хорошо. Оказывается, что выпускник пятого курса мехмата, даже если он троечник, много чего усваивает на уровне подсознания. Но только в аспирантуре начинается серьезная специализация по отдельным струям. Образование, скажем, в Оксфорде или Кембридже устроено по иному принципу. Там этот кирпич существенно меньше - он занимает год-полтора. Потом начинается специализация, гораздо раньше, чем у нас. В итоге они проигрывают по подготовке студентов, но выигрывают за счет аспирантуры. Именно после этого сравнения возникла мысль провести реформу образования на мехмате. Мы будем проводить ее с учетом наших преимуществ и недостатков, но ни в коем случае не копируя тот или иной знаменитый университет.

В середине 1960-х некоторые важнейшие направления математики, бурно развивавшиеся в мире, - в первую очередь алгебраическая топология (сегодня она - основной математический язык новой физики), - на мехмате были практически неизвестны! Тогда замечательный тополог Михаил Михайлович Постников открыл семинар по этим направлениям, в работе которого участвовали молодые ученые, аспиранты, студенты (если не ошибаюсь, и вы тоже). Многие из них вскоре достигли блестящих результатов, стали лидерами мощных научных школ. Это был несомненный взлет, прорыв. Может быть, и сейчас где-то происходит что-то очень яркое, новое, важное - а на мехмате это никак не представлено?

- Вполне возможно. Наверняка есть много тем, которые закипели, бурно развиваются - но от которых мы пока в стороне. Вот это мы и выясним в ходе реформы. В те годы все было именно так, как вы говорите, и я хорошо помню, как мы это делали. Естественно, нечто подобное хотим сделать и сейчас.

Взгляды и вызовы, рекорды и материки

Какие новые яркие направления в математике вы могли бы назвать?

- Из того, что близко к моей сфере деятельности, я уже упоминал компьютерную геометрию, замечательное новое направление. Еще один важный пример - знаменитая работа Перельмана, решение проблемы Пуанкаре. Эта работа открыла пионерское направление в науке. Неожиданное, очень глубокое, бурно развивающееся, с замечательными теоремами, даже с новой идеологией. Очень многое было сделано в последние десятилетия на стыке физики и топологии. Здесь и теория инстантонов, и теория солитонов, и решение уравнений в частных производных (анализ уравнений типа Кортевега-де Фриза). Наконец, геометрические и топологические методы в задачах интегрирования гамильтоновых систем - там есть замечательные вспышки, открытия последних лет. Моя школа очень активно работает в этой области.

Что бы вы отнесли к самым ярким достижениям последнего времени в математике в целом?

- Если говорить о рекордах, покоренных вершинах, - Перельмана мы уже назвали, ну и, естественно, Уайлз - теорема Ферма.

Работа Уайлза дала импульс для развития новых областей науки?

- Об этом мне судить труднее, чем о работах Перельмана. Насколько я понимаю, идеи Уайлза еще не проникли достаточно глубоко в смежные сферы математики. К тому же работа Уайлза очень сложная. Были попытки написать более простое доказательство - я в них сам не разбирался, но есть ощущение, что весь этот аппарат понят пока лишь очень немногими. С Перельманом ситуация все-таки другая, и уже ясно, что кроме чисто "спортивного" успеха у него сделано нечто большее.

Мы когда-то писали о задачах-вызовах, за решение которых обещаны призы в миллион долларов. Как вы считаете, такие вызовы стимулируют развитие науки или только спортивную ее сторону?

- Есть два типа жизни в математике. Два способа мышления. Вызовы, знаменитые проблемы, которые многие хотят решить, привлекают людей определенного склада ума, их можно назвать великими спортсменами. Они хотят выиграть. Хотят получить золото. Но есть и те, кто стремится открывать неизвестные острова, материки. Такие люди делают работы, нацеленные не на решение проблем, а на открытие новых направлений. И то и другое замечательно, и то и другое стимулирует развитие науки.

Можно ли привести недавние достижения, относящиеся ко второму типу?

- Я бы назвал пионерские работы по теории узлов (см. врезку. - Л.Л.-М.). Возник новый язык, открыты многочисленные и очень интересные инварианты узлов - полином Джонса, инвариант Васильева. Проблема классификации узлов пока не решена. Но открыт новый мир, мир инвариантов, которые управляют узлами, и сейчас этим миром занимаются ради него самого. Жизнь в этом мире необычайно увлекательна, изучать инварианты так интересно, что люди занимаются ими, даже не будучи уверены в том, что проблема классификации будет решена. К тому же эта область имеет массу приложений, в первую очередь в физике. Надо сказать, что все по-настоящему глубокие вещи в математике так или иначе связаны с какими-то соображениями из математической физики.

Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?

- Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.

Над чем вы сейчас работаете?

- Над проблемой интегрирования гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (эти системы возникают в огромном количестве задач классической механики и других областей физики. - Л.Л.-М.). Недавно мы с моими сотрудниками открыли новые инварианты таких систем, позволяющие их классифицировать. Есть известная прикладная задача: даны две системы дифференциальных уравнений, описывающие какие-нибудь процессы, вопрос - эквивалентны ли эти системы? Может быть, на самом деле процесс один и тот же, просто уравнения записаны в разных системах координат? Желательно иметь такие инварианты, которые можно вычислить для каждой из систем и посмотреть: если инварианты совпали, то системы эквивалентны, не совпали - не эквивалентны. Вот такие инварианты мы нашли несколько лет тому назад - это графы с некоторыми метками. Они применимы к разным классам систем, в первую очередь к динамике твердого тела - к движению твердого тела в жидкости, в том числе намагниченной, к движению тела с полостями, тела с неголономными связями. В частности, мы с А. Болсиновым доказали теорему об эквивалентности двух известных систем уравнений: движения твердого тела (случай Эйлера с закрепленной точкой) и динамики геодезических на эллипсоиде. Причем там очень тонкий эффект - эквивалентность есть, но ее нельзя сделать гладкой.

Теория узлов

В отличие от функций Морса и гомологий, теория узлов имеет дело не с многомерными абстракциями, а с узлами в самом прямом житейском смысле слова - заплетенными веревками со связанными концами. До сих пор никому не удалось найти алгоритм, определяющий, одинаковы ли два заданных узла - то есть можно ли один из них превратить в другой, не разрывая и не развязывая веревку. Если бы мы жили в плоскости, никаких узлов у нас бы не было - их в плоскость не засунешь. В четырехмерном пространстве любой узел можно превратить в обычное колечко, а его потом - в любой другой узел, так что вопрос снимается. Но вот в нашем 3D узлы оказались настолько запутанными, что вокруг них образовалась целая наука - как теперь выясняется, имеющая прямой выход в квантовую теорию поля. На рисунке - сложный на вид узел, но - кто бы мог подумать! - это лишь иллюзия, перед нами обычное, незаузленное кольцо.

Это затягивает

Что сейчас мотивирует студентов мехмата? Они нацелены именно на науку или просто хотят получить хорошее образование, престижный диплом, чтобы затем заняться чем-нибудь другим?

- Как всегда - далеко не все видят себя будущими учеными.

Как всегда? То есть радикальных изменений вы не замечаете?

- Нет, не замечаю. И раньше основная масса студентов хотела получить хорошее образование, которое обеспечит им достойное место в обществе. Наши студенты пять лет учатся совершенно уникальному способу мышления. Тут и логика, и гибкость формирования понятий, и умение формализовать прикладную задачу для математики. Это получают все, даже не круглые отличники. В этом, собственно, основная польза от изучения фундаментальных наук - математики, по крайней мере. Но тех, кто потом пойдет работать в фундаментальную науку, немного. Таких действительно стало меньше, чем раньше, поскольку в последние годы был внедрен новый тип психологии - стремление зарабатывать деньги. Это хорошо. Но есть люди, которые понимают, что не в деньгах

счастье. И которые странным образом - разумеется, от денег не отказываясь, - видят свое будущее в более… ну, что ли, идеализированном виде. Такие ребята всегда были и будут, на них, собственно, и держится фундаментальная наука. Они хотят получить в жизни минимальный фундамент под ногами, но в целом ориентированы на эдакую идеальную действительность.

Нет ли у вас ощущения, что теперь у студентов не то чтобы культурный уровень снизился, а просто это другой культурный слой, не тот, что раньше?

- Это есть. И опять же объясняется сменой идеологии. Ребята, начиная с 4–5-го курса, вынуждены зарабатывать деньги. Причем не всегда потому, что не хватает на жизнь. Их подталкивает атмосфера в обществе в целом: идея, что необходимо иметь большие деньги. Это мешает многим, рождает прагматизм, в целом студенты стали более прагматичны. Раньше, когда зарплаты были более-менее унифицированы, для каждого слоя был свой уровень доходов: кандидат, доктор, профессор, инженер. В те годы люди тратили меньше свободного времени на зарабатывание дополнительных денег. Сейчас вы можете, потратив свое время, заработать денег все больше, больше, больше и больше. Далеко не все могут на этом пути остановиться, в том числе и студенты. Это затягивает. Это увлекает. Ты можешь обедать в студенческой столовой, или в профессорской столовой на втором этаже, или в кафе, в ресторане, в шикарном отеле - верхней границы нет.

Многих привлекает процесс подъема по жизненным ступенькам. В итоге у людей не остается времени, которое раньше мы отдавали культуре, искусству, хобби, разговорам о живописи, о науке, о музыке, о театрах, о путешествиях, о книгах, о стихах. В коридорах мехмата все реже слышишь такие разговоры. Это накладывает заметный отпечаток на среду в целом. Она изменилась. Я не знаю, хуже это или лучше. Но думаю, что это не очень хорошо.

Как же может развиваться дальше мир или страна, чтобы ситуация изменилась? Какие могут быть сценарии?

- Не знаю. Вернуться в прошлое невозможно, нельзя войти в одну реку дважды. Но тот капитализм, который существует у нас, вредит более широкому, научному взгляду на жизнь.

А как же Запад, опять-таки: там все это существует уже давно, и тем не менее..

- Российская культура всегда была и пока остается более широкой, энциклопедической. Запад уже давно предпочел идеологию узкой специализации, вследствие чего нередко достигается высокий спортивный результат в каждой области, когда все брошено на достижение одной цели. Это очень хорошо и важно, но за это приходится платить - людям и обществу в целом - меньшим энциклопедизмом, чем у нас. То же самое мы видим и в математике. Это разные стили мышления. Неясно, что лучше или хуже, и там и там есть плюсы и минусы - просто разный стиль.

Кто поднимает заслонку?

Больше тридцати лет назад вы делали на мехмате доклад о топологическом подходе к строению натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …

- Да, было такое.

Там был очень необычный подход к самым основам математики. Думаете ли вы время от времени о такого рода "вечных вопросах"?

- О строении натурального ряда думаю, но, к сожалению, только изредка. Эта работа - точнее, просто мысль, идея, - была давно, она меня сильно увлекала и до сих пор увлекает: как описать поведение очень больших чисел. Настолько больших, что они даже чуть-чуть "размытыми" становятся. Это ни к чему конкретному не привело, и времени на это у меня не очень много. Но иногда такие мысли всплывают, и они мне очень нравятся - несмотря на то что ничего конкретного доказать я, может быть, и не смогу. Однако просто для себя полезно поразмышлять в неформализованном, чисто интуитивном стиле. Я хорошо понимаю Анри Пуанкаре (он один из авторов интуиционизма в математике), который считал интуицию важнейшей формой математического мышления. Это вещь абсолютно неформализуемая. У каждого математика есть свое представление об этом, его очень трудно объяснить. Да и не нужно. Но интуиция сродни озарению - озарение вещь тоже очень зыбкая, философски трудно объяснимая, трудно комментируемая, - но это работает. Интуиция и озарение - одно и то же по большому счету. У меня к этому есть склонность, вкус, к тому же я понимаю, что такие размышления иногда помогают даже в конкретных задачах.

Вы, наверное, не допускаете возможности, что человеческое мышление удастся смоделировать на компьютере?

- Ой, не знаю. Это очень интересная проблема, и у нас на факультете есть известная кафедра теории интеллектуальных систем, которая пытается эти вопросы формализовать. Тут я боюсь прогнозировать, можно ли смоделировать хоть часть нашего мышления на компьютере, пусть даже на квантовом. Пропагандисты квантовых вычислений, кстати, надеются научиться моделировать интеллект. Не знаю. Тут я не специалист, но сомневаюсь, что это возможно. По крайней мере, маловероятно. Такой разговор выходит совсем уж за рамки математики - но у меня есть ощущение, что смоделировать мышление даже на квантовом компьютере не удастся.

Вы знаете книжки Роджера Пенроуза об этом? Он придерживается той же точки зрения.

- Когда-то я листал некоторые его работы, размышления замечательного математика на очень нестандартные и волнующие темы. Можно и Пуанкаре опять вспомнить в связи с этим. Видимо, каждый профессиональный математик рано или поздно начинает думать о вещах, выходящих за рамки конкретных теорем. О месте математики в мире, о своем месте в мире. Это естественно, это хорошо, это нужно. Только не всегда стоит публиковать такие размышления в научной периодике - они нужны прежде всего для себя самого.

Кто вам как ученый наиболее близок в современной науке?

- Трудно ответить, ведь кроме работ надо знать и личность ученого. Мне легче говорить о классиках, и я бы назвал Пуанкаре, мне всегда казалось, что я хорошо понимаю его мировоззрение и то, чего он хотел в науке. Я всегда привожу Пуанкаре в пример студентам как замечательного мыслителя, который не только великолепно работал в математике, но и смотрел на науку шире.

Можете ли вы назвать научные разочарования последних десятилетий? Часто появляются модные теории - вспомним теорию катастроф, например, - а потом вроде бы это кончается ничем.

- О теории катастроф действительно стали говорить гораздо меньше - но всегда опасно утверждать, что что-то окончательно отброшено. Мы прекрасно знаем, хотя бы на примере работ итальянской школы алгебраической геометрии, как много замечательных открытий XIX века были забыты, потом заново переоткрыты, и лишь тогда вспоминались те исходные работы. Подобных примеров много, так что я был бы очень осторожен, прежде чем ставить крест на том или ином направлении. Ушло, временно заморозилось - надо подождать.

Очень трудно, видимо, сказать, чем определяется судьба математических идей?

- Я когда-то размышлял на эту тему и понял, что есть вот какой эффект. Многие великие вещи в науке - в математике, в частности, - открывались независимо разными людьми и почти одновременно в разных местах. Классический пример - геометрия Лобачевского. Сначала ее разработал наш соотечественник Николай Лобачевский, спустя несколько лет - венгр Янош Больяи, а чуть раньше - немец Карл Фридрих Гаусс (хотя никаких записей не оставил). И таких случаев можно привести немало. В чем дело? Возникает ощущение - очень странное, выходящее, разумеется, за рамки математики, - что где-то вне нас есть некий банк идей. Он закрыт от нас. Однажды кто-то поднимает заслонку, и из этой сферы вырывается луч света, падающий на научное сообщество. Некий сигнал. Его почти никто не замечает. Но как любой сигнал, он как-то модулирован. Некоторые интеллекты настроены на эту частоту. Они неожиданно воспринимают этот сигнал - и у этих людей вспыхивает идея, примерно одна и та же. Такое ощущение, что эти заслонки, когда приходит время, поднимаются - и общество делает следующий прыжок. То есть от нас мало что зависит. Не только в математике - вообще в науке. Там, где важна роль озарения. Человек понял что-то - неожиданно. Как-то все у него в голове улеглось. Он видел хаос - и возникло понимание. Это очень краткий процесс, миг, - и мне кажется, что в этот миг какой-то сигнал извне до нас доходит. Кто подает его, я не знаю.

Пуанкаре, кажется, как раз что-то такое писал об озарении.

- Да, писал. Люди, размышляющие на эту тему, к этой идее в том или ином виде рано или поздно приходят.

А это имеет отношение к религиозному восприятию мира?

- Я лично религиозным себя не считаю. Верующие люди нечто похожее рассказывают про свои озарения, но я говорю о науке. О вещах совершенно конкретных - как та же геометрия Лобачевского.

Может быть, озарения тоже можно сделать предметом науки. Систематизировать совпадения, проследить какие-нибудь временные зависимости.

- Конечно! Было бы здорово, если б историки науки, историки математики исследовали этот вопрос. А то когда нам просто рассказывают, в каком году Гаусс открыл такую-то формулу, в каком году Эйлер доказал то-то и то-то - это важно, конечно, но бывает скучновато. Ну и кроме того, было бы интересно и полезно, для молодежи особенно, написать не только историю достижений, но и историю ошибок. Очень поучительно - как математики и физики ошибались.

Мне говорили, что вы отошли от занятий историей…

- Нет, когда есть время, я этим занимаюсь. Точнее, не историей, а хронологией. Тоже интересная тематика. Хорошая прикладная задача.