А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ

МАТЕМАТИКА:
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПОВЕРХНОСТИ

  Интуитивно, таким функциям и многообразий соответствуют плавные, "изящные", геометрические образы.  Например, гладкая кривая на плоскости может иметь излом под углом в 90 градусов. А вот аналитическая кривая такого излома иметь не может. Типичная картина аналитического излома
- это "клюв", когда две ветви аналитической кривой касаются, и угол между двумя касательными - нулевой (или 180 градусов).  Рисунок представляет аналитические кривые, поверхности, их особые точки и т.д.  Видны некоторые минимальные поверхности (мыльные пленки, мыльные пузыри).  Замечательным фактом является аналитичность минимальной поверхности во всех ее регулярных, т.е.  неособых точках. Показаны также поверхности постоянной средней кривизны - границы раздела двух физических сред, находящихся в равновесии.  Минимальные поверхности - это частный случай, когда давления в соприкасающихся средах одинаковы.

МИФОЛОГИЯ

Горящий змей-дракон, падающий с неба. Легенда о грехопадении Адама и Евы. Змей соблазнил Еву съесть запретный плод в раю. Разгневанный Бог проклял за это змею и сказал, что теперь она будет всю жизнь ползать на животе и всегда будет вражда между потомками змеи и потомками Евы: люди будут убивать змею ударом по голове, а она будет жалить людей.  Образ огненного змея распространен в мифологии многих народов. Часто радуга - это часть туловища огромного зме'я, смутно видимого сквозь облака после дождя. Старинный обычай в Океании сжигать клубок живых змей на костре под пение ритуальной молитвы. Многие племена считают, что завидный дар бессмертия, достигаемый путем периодического сбрасывания кожи (как у змеи), был некогда доступен человеческому роду, но по несчастной случайности дар перешел к низшим созданиям. На Каролинских островах есть предание, что некогда люди не знали смерти, или точнее, она была лишь кратким сном. Люди умирали вместе с исчезновением луны и возрождались к жизни с новым появлением ее, как бы просыпаясь после освежающего сна. Но злой гений (змей) сумел превратить легкий сон в вечный и непробудный. (Дж.Дж.Фрэзер.Фольклор в Ветхом Завете).

МАТЕМАТИКА:
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

  Картина обтекания твердого тела в набегающем потоке жидкости или газа. Интересные события происходят в пограничном слое, т.е. в слое жидкости, примыкающем к твердому телу.  Поток жидкости моделируется векторным полем, интегральные траектории которого изображают линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы жидкости. Важные события происходят в особых точках векторного поля. Они могут соответствовать источникам или стокам жидкости, или быть "седловыми". На рисунке видно образование седловой точки потока там, где набегающий поток ударяется о поверхность тела, ортогональную одной из линий тока.

МИФОЛОГИЯ

Гибель Аякса - одного из героев Троянской войны. Отличался буйным и дерзким нравом. Во время взятия Трои изнасиловал знаменитую предсказательницу Кассандру, искавшую защиты у алтаря Афины. За это святотатство ахейцы хотели побить его камнями, но Аякс нашел убежище у того же алтаря Афины. Однако при возвращении флота, разгневанная Афина разбила бурей у Кикладских островов корабль Аякса, метнув в него перун. Аякс пытался спастись, уцепившись за скалу, но неосторожно тут же похвалился, что остался жив вопреки воле богов. Это он сделал напрасно. Взбешенный Посейдон ударом трезубца расколол скалу и Аякс погиб в бушующем океане и огне.

МАТЕМАТИКА

Здесь много математических образов. Особые точки аналитических функций. Задача о биллиарде - движение шаров в областях различной формы, причем шары отражаются от стенок по правилу: угол падения равен углу отражения.  Бесконечная последовательность изогнутых конусов в виде "шатров". Вершина каждого такого конуса снабжена фигурой, условно изображающей тип особенности в этой точке. Минимальные конусы естественно возникают в теории минимальных поверхностей, поскольку аппроксимируют эти поверхности вблизи их особых точек.  В качестве "основания конуса" может выступать не только обычная сфера, но и более сложные многообразия.

МИФОЛОГИЯ
РАСПЯТИЕ

Согласно Новому Завету, в момент смерти Христа, разразилась катастрофа.  "От шестого же часа тьма была по всей земле до часа девятого; а около девятого часа возопил Иисус громким голосом: Или, Или! лама савахфани? то есть: Боже Мой, Боже Мой! для чего Ты Меня оставил?  Некоторые из стоявших там, слыша это, говорили: Илию зовет Он. И тотчас побежал один из них, взял губку, наполнил уксусом и, наложив на трость, давал Ему пить; а другие говорили: постой, посмотрим, придет ли Илия спасти Его. Иисус же, опять возопив громким голосом, испустил дух. И вот, завеса в храме раздралась надвое, сверху донизу; и земля потряслась; и камни расселись; и гробы отверзлись; и многие тела усопших святых воскресли и, выйдя из гробов по воскресении Его, вошли во святый град и явились многим. Сотник же и те, которые с ним стерегли Иисуса, видя землетрясение и все бывшее, устрашились весьма и говорили: воистину Он был Сын Божий" (Матфей 27:45-54).

МАТЕМАТИКА.
Математическая бесконечность и трансфинитные числа

Каждая "бесконечность" превращается в новое "число". Затем берется бесконечная последовательность таких "чисел". В результате возникает "новая бесконечность", которая может рассматриваться как "число" следующей иерархии. Процесс повторяется неограниченно. Такие "бесконечности" можно складывать, оперировать с ними как с обычными числами, однако у них появляются новые свойства.

МИФОЛОГИЯ

Шествие на Голгофу и распятие. А также: Апокалипсис и Страшный Суд. В скандинавской-германской мифологии этот христианский сюжет отразился как "Рагнарек - гибель богов". Якобы мир погибнет в последней битве богов и чудовищ. Предвестием катастрофы служит смерть юного бога Бальдра - любимого сына О'дина и Фригг. Его начинают мучать вещие сны, предсказывающие гибель.  О'дин отправляется в царство мертвых, чтобы узнать судьбу. Там он силой пробуждает от сна прорицательницу вельву, которая предрекает Бальдру смерть от руки слепого бога Хеда. Несмотря на все попытки О'дина предотвратить гибель сына, пророчество вельвы сбывается. Это - прелюдия к концу мира.  Сначала - трехгодичная всемирная зима. Огромный волк глотает солнце, другой волк - луну. Солнце чернеет и звезды падают с неба. Землетрясение. Поднимаются воды, и наступает нестерпимый жар. На свободу вырываются огромные чудовища, в частности, волк Фенрир и змей Ермунганд. Из царства мертвых выплывает корабль мертвецов Нагльфар, сделанный из ногтей мертвецов.  Появляются инеистые великаны. Страж богов трубит в рог и будит богов во главе с О'дином. Начинается последняя битва, в которой светлые боги, возглавляемые О'дином, терпят поражение. Погибают и все люди. Вскоре мир снова возрождается, и все повторяется сначала.

МАТЕМАТИКА.

Сложное переплетение математических образов: особые точки алгебраических функций, ряды Фурье, фракталы, динамические системы и странные аттракторы, волновые фронты, периодические отображения и орбиты действия дискретных групп.

МИФОЛОГИЯ

Средневековые скандинавские и германские мифы. Валькирия Брунгильда погружена богом Вотаном (О'дином) в глубокий сон на вершине скалы, окруженной стеной священного огня. Бог огня Логе охраняет сон Брунгильды. Этот сон и отлучение ее от сонма богов и полубогов - наказание за то, что Брунгильда ослушалась приказа своего отца Вотана. Во время поединка между конунгами Гуннаром и Агнаром она отдала победу не Гуннару (которому Вотан обещал ее), а Агнару (поддавшись чувству симпатии к герою). Теперь никто из смертных не может приблизиться к бывшей полубогине, и лишь неукротимому герою Зигфриду удается пройти сквозь бушующее пламя. Но этот подвиг все равно оказывается напрасным и не приносит счастья героям. Любовь Зигфрида и Брунгильды уже не в состоянии остановить проклятие Альбериха и является первым шагом на пути к их гибели, к концу Валхаллы и богов.

МАТЕМАТИКА.
Сфера, к которой приклеена трубка-цилиндр

Один из шагов доказательства известной формулы Гаусса-Бонне о том, что нормированный поверхностный интеграл от гауссовой кривизны равен эйлеровой характеристике поверхности.  Интеграл по сфере равен единице (при подходящей нормировке), а интеграл по трубке, следовательно, равен -1. Это легко видеть, перетянув сферу посередине, чтобы получить трубку, соединяющую две сферы. Теперь достаточно представить любую замкнутую поверхность в виде набора сфер, соединенных такими трубками, чтобы завершить доказательство теоремы.

МИФОЛОГИЯ

Как сообщается в Библии, звук труб разрушил стены города Иерихона. Во время завоевания земли обетованной, народ подступил к стенам хорошо укрепленного города Иерихон. Нападающие выстроились перед стенами и затрубили в трубы. И как только все услышали голос труб, народ крикнул громким и сильным голосом. И от этого крика и рева труб обрушились стены города. Войска ворвались в ставший беззащитным Иерихон "и предали заклятию все, что в городе, и мужей и жен, и молодых и старых, и волов и овец, и ослов, [все] истребили мечом." (Иисус Навин 6:19-20).

МАТЕМАТИКА.
Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности

Разные точки поверхности имеют существенно различный характер. Можно выделить области, где гауссова кривизна положительна (шапочка), отрицательно (седло) или нулевая (цилиндрическая поверхность). В целом структура объекта напоминает геликоид - поверхность, образующуюся при скольжении вращающейся прямой вдоль другой неподвижной прямой, ей ортогональной.

МИФОЛОГИЯ

Скандинавские и германские мифы о змее Ермунганде - постоянном противнике бога грома Тора. Как рассказывает "Старшая Эдда" (Прорицание вельвы), в последней битве перед концом мира Тор сражается с Ермунгандом, поражает его, но, успев сделать только девять шагов, сам умирает от яда змея. Мир превращается в хаос, тонущий в безбрежном океане.

МАТЕМАТИКА.
Понятие нечеткого множества

Классическая математика имеет дело с четкими, точно формализуемыми понятиями. Например, алгебраические поверхности, которые можно задать формулами. В центре рисунка изображена такая поверхность с особыми точками.  В последнее время большую популярность приобретает раздел математики, в котором основными объектами являются нечеткие, размытые множества. Они возникают в геометрии и топологии, в вычислительной математике, в теории вероятностей. Можно определить естественные операции над такими множествами, понятие близости (толератности).  Так возник нестандартный математический анализ, сложилось представление о вероятностном подходе к доказательству теорем.  Понятие "размытого натурального числа" естественно возникает при операциях с очень большими натуральными числами.

МИФОЛОГИЯ

Утренняя молитва. Поклонение деревьям. Одушевленные деревья обладают чувствительностью, их порубка - тонкая хирургическая операция. Если "хирург" неумелый, дерево может разорвать его на части. В китайских книгах фигурируют деревья, истекающие кровью и испукающие крики боли и негодования, когда их надрубают, спиливают или поджигают. (Дж.Дж.Фрэзер. Фольклор в Ветхом Завете). (J.G.Frazer, "The golden Bough", London, 1923, русский перевод, Москва, 1984, стр.113, глава 9).

МАТЕМАТИКА.
Клеточные пространства (или клеточные комплексы)

Они получаются склейкой некоторого числа (быть может, бесконечного) шаров, гомеоморфных евклидовым шарам разных размерностей. При склейке удобно считать эти шары "мягкими". Они называются клетками.

МИФОЛОГИЯ

Проклял Бог города Содом и Гоморру, но пощадил Лота - одного из жителей. И сказал ему: уходи из города вместе с женой и дочерьми, но не оглядывайся назад и не останавливайся. "И пролил Господь на Содом и Гоморру дождем серу и огонь от Господа с неба и ниспроверг города сии, и всю окрестностью сию, и всех жителей городов сих, и [все] произрастания земли. Жена же Лотова оглянулась позади его, и стала соляным столпом. И встал Авраам рано утром [и пошел] на место, где стоял пред лицем Господа, и посмотрел к Содому и Гоморре и на все пространство окрестности и увидел: вот, дым поднимается с земли, как дым из печи." (Бытие 19:24-28).

МАТЕМАТИКА

Гладкая функция, в отличие от аналитической, может быть сглажена до нуля и затем продолжена нулем. Другими словами, она может быть определена на всей прямой, но быть отличной от нуля только на одном интервале (для аналитической функции такое невозможно).

МИФОЛОГИЯ

Памяти русского мыслителя и художника Николая Рериха. Далекие горные монастыри, монахи, ледяные скалы, пропасти и вершины человеческой мысли, тайные учения Востока и языческая Русь. Николай Рерих соединил в своем творчестве древнерусскую культуру с культурой Востока.

МАТЕМАТИКА.

Одна из центральных задач современной механики, гамильтоновой геометрии и топологии - это изучение и интегрирование уравнений движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве. Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Если форма тела произвольна, то уравнения неинтегрируемы в том смысле, что не удается найти интегралы движения, т.е. достаточное число независимых величин (функций), сохраняющихся при движении. Грубо говоря, такое тело "кувыркается" хаотическим образом и параметры, описывающие движение, меняются нерегулярно. Но в некоторых случаях характер движений совсем иной. На рисунке показано движение твердого тела, обладающего симметриями. В этом случае уравнения движения интегрируемы. Поиск таких специальных симметрий - сложная задача.  Интегральные траектории такой системы заполняют двумерные торы (так называемые торы Лиувилля) в фазовом пространстве системы.
2-й слой. Памяти храма Христа Спасителя, построенного в Москве на народные деньги. Храм был расписан крупнейшими художниками. В XX веке храм взорвали. На его месте был замыслен огромный дворец, символизирующий счастливое будущее. Начавшиеся работы показали, что почва здесь зыбкая и для ее укрепления потребуется много усилий. Тогда в образовавшемся котловане построили плавательный бассейн "Москва". Затем тут снова возвели храм.

МАТЕМАТИКА

Гомотопические группы - это важные инварианты топологических пространств, позволяющие, в частности, отличать пространства друг от друга (например, пространства гомотопически не эквивалентны, если их гомотопические группы различны). Поэтому вычисление гомотопических групп - важная проблема топологии. Одна из наиболее известных - вычисление гомотопических групп сфер. Эти группы образованы классами гомотопных отображений одной сферы в другую. Содержательным является случай, когда сфера большой размерности отображается на сферу малой размерности (если соотношение размерностей обратное, то такие отображения гомотопически тривиальны, а потому неинтересны). Под действием такого отображения "большая сфера" как-то сминается, ее образ становится достаточно сложным и накрывает "малую сферу" "несколькими слоями".

МИФОЛОГИЯ

Зарождение тайфуна, "глаз" будущего урагана. Согласно индийской мифологии, многие живые существа имеют кроме двух обычных глаз еще один - третий, тайный глаз. Он позволяет видеть скрытое движение энергии и раскрывается только в том случае, когда живое существо достигает высокого уровня развития.

 

Первобытная молитва

МАТЕМАТИКА.
Из книги "Гомотопическая топология"

Показан первый шаг в бесконечном процессе построения сферы Александера (= рогатой сферы). Вдали поднимаются две "трубы", на концах которых вырастают по два "пальца" (две новые трубки), которые "почти зацеплены" в объемлющем пространстве, но не склеиваются.  Топологическое вложение рогатой сферы в трехмерное евклидово пространство является "диким" (т.е. не локально плоским) в бесконечном множестве точек, образующем канторово множество.

МАТЕМАТИКА.
 Из книги "Гомотопическая топология"

Показаны двумерные поверхности, проективные плоскости, "скрещенные колпаки" (то есть такие погружения листа Мебиуса, при которых его границы становится плоской окружностью).

МАТЕМАТИКА
Действие фундаментальной группы на высших гомотопических группах

Из книги "Гомотопическая топология". Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы "пи-i". Первая из них называется фундаментальной группой. Ее элементы - это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент группы "пи"-i при i>1 можно представить в виде сфероида, расположенного в пространстве (сфероид задается непрерывным отображением сферы).  Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Принцип действия показан на рисунке.  Элемент фундаментальной группы изображается петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в начальной точке петли.  Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это и задает отображение сфероидов, т.е.  отображение элементов гомотопической группы.  После такого преобразования прежний сфероид покидает свое место и начинает свободно плавать в пространстве, будучи прикреплен к начальной точке тонкой трубкой.

МАТЕМАТИКА.

Периодичность Ботта и грассманновы многообразия. 
Из книги "Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА

Фокусирование пучка света. Из книги "Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА

Последовательные члены (таблицы) спектральной последовательности.  Из книги "Гомотопическая топология"

МАТЕМАТИКА

Спектральная последовательность. Клеточные комплексы. Кристаллические структуры. Из книги "Гомотопическая топология".