А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ

Из иллюстраций к книге "Введение в топологию"
  Авторы: Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н.Фоменко.

МАТЕМАТИКА.
Цветной ковер числа "пи"

Здесь десятичное разложение числа располагается на плоскости в виде квадратной спирали, раскручивающейся от центра картины. Напомним, что десятичное разложение "пи" начинается так:  3,14159265358979323846...  и т.д. Бесконечную плоскость разбиваем на квадраты (квадратная решетка), цифру 3 помещаем в центр, а затем, двигаясь против часовой стрелки, последовательно выписываем все цифры десятичного разложения, перемещаясь по квадратной спирали.  При этом все время движемся по внешней стороне уже заполненной фигуры.  Изображено около 2500 знаков десятичного разложения числа "пи", в результате чего возник "квадрат" размером 46 x 46. Каждая цифра закодирована своим цветом: 0 = белый, 1 = коричневый, 2 = красный, 3 = оранжевый, 4 = желтый, 5 = зеленый, 6 = голубой, 7 = синий, 8 = фиолетовый, 9 = черный (в конце спирали несколько клеток не закрашены). Выбор цветной кодировки произволен (и в другом рисунке, посвященном числу "e" мы применим другую расцветку цифр).
Начальная цифра 3 никак не закрашена, чтобы был виден центр цветного ковра. Все остальные цифры, начиная с 1 (т.е. сразу после запятой), закрашены соответствующими цветами. Получившийся ковер и видит зритель. Поскольку цифры разложения образуют случайную последовательность, то и "квадратный ковер" является "случайным", т.е. распределение цветов на нем полностью хаотично (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем). Ковер был бы случайным и при другом способе заполнения плоскости, например, можно было бы наматывать разложение "пи" по треугольной спирали и т.п. Человеческие фигурки, покрывающие ковер, усиливают эффект случайности, поскольку никакого соответствия между цифрами и фигурками нет.  Замечательно, что если построение цветового ковра продолжить достаточно долго, то рано или поздно на нем возникнет любая картина, когда либо нарисованная художниками прошлого (а также появятся все картины, которые будут нарисованы в будущем).  Например, зритель рано или поздно увидит на ковре все картины Рафаэля, Микеланджело и др.  Правда, придется долго ждать - быть может, миллиарды лет.  Впрочем, фантазия зрителя может попытаться увидеть какое-либо изображение уже на квадрате с 2500 знаками.  Например, замечательный советский математик Андрей Николаевич Колмогоров рассматривая эту мою работу, отыскал в ней "мышку с лукошком" в правой лапке.  А.Н.Колмогоров высказывал глубокие натурфилософские идеи о случайности и бесконечности, возникавшие у него при сравнения друг с другом построенных мною цветовых ковров чисел "пи" и "e".

МАТЕМАТИКА:

Так называемые клеточные разбиения двумерных поверхностей.

Динамика тяжелого твердого тела. Волчки, гироскопы

.

Динамика тяжелого твердого тела

Если волчок слегка несимметричен, то при большой скорости вращения он лопается.

МАТЕМАТИКА:

Перестройки торов Лиувилля в интегрируемых системах с двумя степенями свободы. Бифуркации типа "атом В".

МАТЕМАТИКА:

Перестройки торов Лиувилля в интегрируемых системах с двумя степенями свободы. Неориентируемая бифуркация.
Особым слоем здесь является погруженная бутылка Клейна.

МАТЕМАТИКА:
Двулистное накрытие тором бутылки Клейна

.

МАТЕМАТИКА:

Перестройки торов Лиувилля в трехмерных изоэнергетических многообразиях интегрируемых гамильтоновых систем.

МАТЕМАТИКА:

Показана идея доказательства следующей теоремы: на любом гладком симплектическом многообразии размерности 2n всегда существует набор из n гладких независимых функций, находящихся в инволюции.  Такие семейства функций называются полными инволютивными.
Поиск таких семейств - одна из центральных задач гамильтоновой механики.  Полные инволютивные семейства функций - это интегралы уравнений (т.е.величины, сохраняющиеся при движении вдоль интегральных траекторий). Для построения примера таких семейств функций, нужно покрыть почти все многообразие M непересекающимися открытыми шарами так, чтобы дополнение к объединению шаров имело меру нуль.  Такое счетное семейство шаров (постепенно уменьшающихся в размерах) и показано на рисунке.  Затем достаточно построить полное инволютивное семейство функций на одном из шаров и повторить то же самое на остальных шарах.  После чего остается лишь "сшить" функции вместе, опираясь на то, что каждая такая функция обращается в ноль на границе шара. Множества, подобные изображенному на рисунке, встречаются и в других разделах математики (например, в теории фракталов - множества Мандельброта и Жулиа).

МАТЕМАТИКА:

Изображена цветная квадратная спираль десятичного разложения замечательного числа "e". В основу картины положен тот же принцип, что и для числа "пи", однако изменено направление раскручивания спирали: теперь мы движемся от центра по часовой стрелке. Напомним, что разложение e начинается так: 2,7182818284590452353602874... и т.д.  Цифры расположены так.
Начальная цифра 2 не закрашена и в этом квадрате помещены две фигурки: в остальных квадратах - ровно по одной. Остальные цифры, т.е.  сразу после запятой, закрашены в соответствии со следующей таблицей (в самом конце спирали конце несколько клеток не закрашены):
0 = фиолетовый, 1 = оранжевый, 2 = красный, 3 = салатный, 4 = коричневый, 5 = розовый, 6 = зеленый, 7 = желтый, 8 = голубой, 9 = охра.
Эта цветовая кодировка отличается от кодировки числа "пи". Получающийся ковер выглядит иначе, чем ковер "пи", хотя и эта "картина" - случайна. Интересно сравнить друг с другом оба ковра. Поскольку они "случайны", то выбор цветовой гаммы не влияет на их характер. Как и в случае "пи", человеческие фигурки изображают эмоции.  А.Н.Колмогоров, комментируя эту мою работу, говорил, что у него складывается ощущение, будто бы ковер "e" не столь "монолитен" как ковер "пи", т.е. картина "e" более хаотична чем для "пи". Ясно, что здесь речь может идти лишь о чисто субъективном впечатлении.

Великие египетские пирамиды внутри готического храма

Рисунок на обложку английского издания моей книги: 

Fomenko A.T. Empirico-Statistical Analysis of Narrative Material and its Applications to Historical Dating. 
Volume 1: The Development of the Statistical Tools.
Volume 2: The Analysis of Ancient and Medieval Records. 

Kluwer Academic Publishers. 1994.  The Netherlands.

Фантазия