"Это доказательство таково. Берется отрезок прямой с координатами его концов 0 и 1. Обе эти координаты являются целыми числами. Отрезок делится пополам и рассматриваются каждый из вновь полученных отрезков. Концы этих отрезков имеют координаты 0 и 0,5 или 0,5 и 1, являющиеся целыми или дробными, т.е. «рациональными» числами. Продолжается повторное разбиение пополам, сближающее края последующих отрезков при их сохранении каждый раз заведомо рациональными числами. В пределе, при бесконечном разбиении, края отрезков сливаются в точку, оставаясь при этом рациональными числами. Логический вывод гласит, что исходный отрезок оказывается заполненным одними лишь рациональными числами, иными словами ни для какой "иррациональности" места не остается."

По сути Вы утверждаете, что предел рациональной последовательности - рационален. Это не так. Рациональные числа не "сливаются", напротив - между всякими рациональными числами лежит бесконечное множество иррациональных. Хотя бы из того факта, что рациональная десятичная дробь обязательно периодически стабилизируется, а переодически нестабилизирующиеся - соответствуют иррациональным числам. Именно здесь Ваша логическая ошибка. Это первое.

Второе: Ваше рассуждение неисторично - оно апеллирует к понятию предела, которое начало формироваться только к началу 17 века, а окончательно завершено - в конце 19-го. Тем самым оно не может прояснить историческую проблему возникновения иррациональных чисел, которые изначально появились видимо, не в алгебре (извлечении корней), а в геометрии (несоизмеримость).

Отдельно стоит проблема бесконечности, она окончательно не разрешена до сих пор. И это отчасти связано с рассмотренной проблемой. Например, существуют не только иррациональные числа, но и числа, о котороых мы ничего узнать не можем и не можем их вполне описать.