Глава 7.
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ.
3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОЦЕДУРА ДАТИРОВКИ.
3.1. ОПИСАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ДАТИРОВКИ.
Гипотеза об измерении именных звезд Альмагеста в пределах заявленной Птолемеем точности в 10 минут позволила нам в разделе 2 дать весьма приблизительный ответ, когда мог быть написан Альмагест. Мы показали, что конфигурация информативного ядра каталога Альмагеста меняется со временем достаточно быстро для того, чтобы определить дату каталога. Поэтому осмысленной стала и постановка задачи об определении интервала возможной датировки.
Естественной в рамках развиваемого подхода представляется следующая процедура, которую назовем статистической. Она основана на гипотезе, что именные звезды Альмагеста были измерены с заявленной 10-минутной точностью по широте. Кроме того, мы будем опираться на найденные в главе 6 статистические характеристики групповых ошибок. Статистическая процедура датирования состоит в следующем.
Шаг А) Зафиксируем уровень доверия 1 − ε.
Шаг Б) Рассмотрим момент времени t и доверительный интервал Iγ(ε) для составляющей γstatZod A(t) групповой ошибки в области Zod A. Определим величину
| Δ(t) = min Δ(t, γ, φ), | (7.3.1) |
где минимум берется по всем γ ∈ Iγ(ε) и всевозможным значениям φ. При этом величина
задает максимальную по всем звездам из информативного ядра невязку, рассчитанную для предполагаемой датировки t. Параметры (γ, φ) определяют некий, вообще говоря произвольный, поворот небесной сферы, рис.3.14
.
Шаг В) Если найденная величина Δ(t) не превосходит заявленной точности каталога в 10', то момент времени t следует рассматривать как возможную дату составления каталога. В противном случае каталог не может датироваться эпохой t.
Естественно, результат данной процедуры датирования зависит от субъективного выбора уровня доверия 1 − ε. Поэтому ее следует проверить на устойчивость относительно вариаций ε. Это будет сделано ниже.
3.2. ЗАВИСИМОСТЬ МИНИМАКСНОЙ НЕВЯЗКИ Δ ОТ t, γ, φ ДЛЯ АЛЬМАГЕСТА.
Для информативного ядра из 8 звезд Альмагеста мы изобразим графически зависимость минимаксной широтной невязки Δ(t, γ, φ) от всех трех переменных. Эта зависимость показана в виде последовательности диаграмм на рис.7.9
и рис.7.10
. Здесь каждая диаграмма соответствует некоторому фиксированному моменту времени t. Приводятся диаграммы для t=1, ..., 18. Для других значений t соответствующие диаграммы оказываются пустыми, как в случае t=1. Напомним, что значение t=1 соответствует 1800 году н.э., а t=18 -- началу нашей эры. На диаграммах по горизонтальной оси отложены значения γ, а по вертикальной оси -- значения φ.
Двойной штриховкой на диаграммах выделена область, где Δ(t,γ,φ)≤10'.
В заштрихованной области выполняется неравенство 10'<Δ(t,γ,φ)≤15'.
В области, заполненной точками, выполняется неравенство 15'<Δ(t,γ,φ)≤20'.
В остальной части рисунков выполняется неравенство Δ(t,γ,φ)>20'. На всех рисунках жирная точка соответствует параметрам γstatZod A(t), φstatZod A(t).
Из приведенных диаграмм ясно видно, что "пятно" с двойной штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке восьми именных звезд Альмагеста, не превосходящей 10', существует лишь при моментах времени 6 ≤ t ≤ 13, то есть в интервале от 600 до 1300 годов н.э.
"Пятно" с простой штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке, не превышающей 15', существует лишь при 4 ≤ t ≤ 16. Максимальных размеров эти "пятна" достигают при 7 ≤ t ≤ 12. При t>18 допустимая область изменения параметров, определяемая соответствующими доверительными интервалами, не содержит ни одной точки, где Δ(t, γ, φ) ≤ 20'. Это, в частности, относится и к скалигеровской эпохе Птолемея, и к скалигеровской эпохе Гиппарха. Более того, при попытке датировать каталог Альмагеста эпохой 100 года н.э. и ранее, минимакс Δ(t) широтной невязки более чем в два раза превышает заявленную точность каталога Альмагеста в 10 минут. Для датировок ранее 100 года н.э. величина Δ(t) превосходит даже среднеквадратичную остаточную ошибку звезд из частей А, Zod A, В, Zod B и близка к среднеквадратичной остаточной ошибке в Альмагесте для части неба М, то есть для неярких звезд Млечного Пути. Где наблюдения таких звезд, сливавшихся с богатым звездным фоном, были весьма затруднены и, конечно, должны были иметь сравнительно низкую точность. Совершенно недопустимую для ярких опорных изолированных звезд информативного ядра. Следовательно, датировки Альмагеста эпохой около 100 года н.э. и ранее придется безусловно отбросить. Как противоречащие каталогу Альмагеста.
Итак, рис.7.9 и рис.7.10 показывают, что в допустимой области по (γ, φ) принципиально нельзя добиться, чтобы широтная невязка у всех 8 звезд информативного ядра Альмагеста была менее 10' в эпоху ранее 600 года н.э. Если поднять допустимый уровень до 15', то этого уровня невязки нельзя достичь, датируя Альмагест ранее 300 года н.э.
3.3. РЕЗУЛЬТАТ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДАТИРОВКИ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.
Для фиксированной эпохи t и для α=10' определим область изменения St(α) параметра γ следующим образом
Множество St(α) может быть и пустым. Рассмотрим при фиксированном t пересечение множества St(α) с доверительным интервалом Iγ(ε), построенным вокруг значения γstatZod A(t). Если данное пересечение не пусто, то в соответствии со статистической процедурой датировки объявим момент времени t возможной эпохой составления каталога Альмагеста. Совокупность таких моментов t назовем интервалом возможных датировок каталога Альмагеста.
Результат расчетов St(α) для Альмагеста наглядно представлен на рис.7.11
. Точками заполнено объединение множеств St(α) при α=10'. Объемлющий контур соответствует значению α=15'. Он нам понадобится позже.
Использованный здесь график функции γstatZod A(t) вычислен в главе 6, рис.6.8
. Величины доверительных интервалов Iγ(ε), соответствующие различным ε, указаны в табл.6.3. Изрис.7.11 следует, что при ε=0,1, ε=0,05, ε=0,01, ε=0,005 интервал возможных датировок оказывается одним и тем же: 6 ≤ t ≤ 13.
Если перевести полученный нами результат датировки в обычные годы, то мы увидим, что ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НАЧИНАЕТСЯ В 600 ГОДУ Н.Э., А ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В 1300 ГОДУ Н.Э.
3.4. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
Длина получившегося интервала возможных датировок каталога Альмагеста составляет 700 лет. А именно, 1300--600=700. Сравнительно большая величина интервала датировок объясняется несколькими причинами.
Первая уже названа. Она связана с низкой точностью каталога Альмагеста, даже если брать заявленную Птолемеем точность в 10 минут. Такая точность не позволяет датировать каталог в узком интервале времени. Дело в том, что даже наиболее быстрая из рассматриваемых 8 именных звезд (Арктур) изменяет свою широту на 10' приблизительно за 260 лет. Это большая величина. Для других звезд ядра она еще больше.
Вторая причина связана с тем, что в своих расчетах мы использовали доверительные интервалы лишь для составляющей γ групповой ошибки. При этом мы минимизировали величину Δ(t, γ, φ) по всевозможным значениям φ. См. формулы (7.3.1) и (7.3.2). Ясно, что этот подход приводит к расширению интервала датировок для каталога Альмагеста. В самом деле, если бы можно было считать φ (так же, как и γ) групповой ошибкой, то следовало бы параметр φ выбирать из доверительного интервала. Это привело бы к увеличению величины 
, а потому -- к сужению интервала возможных датировок. Однако, как отмечено выше, мы не имеем достаточных оснований, чтобы считать φ групповой ошибкой в рассмотренных нами совокупностях звезд Альмагеста.
4. ДАТИРОВКА КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПО РАСШИРЕННОМУ ИНФОРМАТИВНОМУ ЯДРУ.
Вопрос о расширении информативного ядра каталога Альмагеста уже обсуждался выше в конце раздела 7.2. Было обнаружено, что путем бессистемного увеличения ядра за счет числа ярких и быстрых звезд получить содержательную датировку не удается. Мы уже понимаем, что это объясняется низкой средней точностью измерений Птолемея даже ярких звезд. Вопрос о том, по какому принципу можно расширить 8-звездное информативное ядро Альмагеста, не потеряв при этом точности широт, оставался нерешенным.
Нам удалось найти решение этой задачи. Задумаемся, как Птолемей измерял координаты звезд. В истории астрономии хорошо известно, что такие измерения производились путем привязки наблюдаемых объектов к опорным, базисным ярким звездам. Координаты которых измерялись особо тщательно и составляли основу для всех последующих измерений. Какие звезды Птолемей брал за опорные, он прямо не пишет. Как мы видели, из Альмагеста можно извлечь, что такими базисными звездами являлись для по крайней мере Регул, Спика, Антарес и, возможно, Альдебаран. См., например, [1120], с.247. Три из них, а именно, Регул, Спика и Антарес, снабжены в Альмагесте собственными именами со словесной формулой "vocatur...", то есть "именуемая ..." . См. выше. Мы высказали мысль, что именные звезды Альмагеста именно потому и получили собственные имена в Альмагесте, что служили базисом для наблюдений Птолемея. Эта мысль подтвердилась тем, что, как мы доказали, в частях неба A, Zod A, B, Zod B именные звезды Альмагеста действительно имеют эталонную для Птолемея точность в 10 минут. По крайней мере для широт. Для долгот это не так, но, как уже отмечалось выше, долготы наблюдать сложнее, чем широты. Кроме того, точность долгот, скорее всего, была потеряна при пересчетах каталога Альмагеста с целью приведения его к другим эпохам. Поэтому долготы -- не показатель точности, которой реально достигал Птолемей в своих измерениях. Таким показателем могут быть лишь широты.
Для остальных частей неба мы доказать этого не смогли, поскольку не удалось надежно определить величины систематических ошибок. Поэтому при поиске возможных расширений информативного ядра мы также ограничимся лишь звездами из частей неба A, Zod A, B, Zod B.
Зададимся вопросом, какие звезды, кроме опорных, то есть, так сказать, "звезд первого уровня", Птолемей должен был измерить тоже очень хорошо? Естественно, те, которые находятся недалеко от опорных. Хотя бы потому, что измерения Птолемея, скорее всего, делались "по цепочкам". Сначала измерялись координаты звезд, близких к опорным. Отталкиваясь от них, он продвигался дальше. И так далее, шаг за шагом. Сегодня мы понимаем, что при таком способе измерений "по шагам" дисперсия случайной ошибки неизбежно увеличивается. То есть, растет погрешность измеренных координат. Чем дальше звезда отстоит от опорных, тем, в среднем, хуже будет она измерена.
Поэтому разумно попытаться расширить информативное ядро, добавляя к нему "звезды второго уровня". То есть достаточно яркие и хорошо отождествленные звезды, расположенные сначала совсем рядом с опорными. Потом следует добавить к ним звезды "третьего уровня", находящиеся несколько дальше. Потом - звезды "четвертого уровня", лежащие еще дальше, и так далее. Если мы увидим, что при этом средняя точность широт будет падать медленно, оставаясь для близких звезд практически такой же, как и для опорных, мы тем самым подтвердим нашу догадку, что выбранные нами звезды "первого уровня" действительно были опорными. А кроме того, мы получим возможность расширить "датирующее ядро каталога". И проверить, а возможно и уточнить, нашу датировку.
Эту идею мы реализовали следующим образом. Прежде всего мы ограничились теми звездами, которые абсолютно надежно отождествляются в Альмагесте и имеют заметное собственное движение. Они перечислены в табл.4.3. Всего таких звезд 68. Напомним, что информативное ядро из восьми звезд было целиком включено в этот список.
В качестве звезд "первого уровня" были взяты восемь звезд информативного ядра. Для них подсчитана среднеквадратичная невязка по широте после компенсации систематической ошибки. При этом, систематическая ошибка γ найдена в главе 6. Мы допускали вариацию этой ошибки в пределах ± 5' с шагом в 1 минуту. По параметру β осуществлялся перебор в границах ± 20' с шагом в 1 минуту. В качестве среднеквадратичной невязки для каждой предполагаемой датировки каталога мы брали минимальное значение, полученное указанными вариациям параметров γ и β. В результате получилась зависимость среднеквадратичной невязки от предполагаемой датировки каталога Альмагеста. Для восьми звезд информативного ядра, то есть звезд "первого уровня", получившийся график приведен на рис.7.12
.
Минимум графика достигается в 900--1000 годах н.э. на уровне 5--6 минут дуги. Это означает, что на опорных звездах гарантированная точность измерений Птолемея по широте составляла 10' - 15'. И действительно, все звезды информативного ядра, как мы видели, измерены с точностью не хуже 10' по широте. Что прекрасно соответствует выбранной Птолемеем цене деления шкалы, а именно, 10'.
Что же касается эпохи II века н.э., то здесь невязка достигает 12'. Это -- в два раза больше минимального значения. ЧТО ДЕЛАЕТ НАЧАЛО Н.Э. ПРАКТИЧЕСКИ НЕДОПУСТИМОЙ ЭПОХОЙ ДЛЯ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА. Не говоря уж о более ранней "эпохе Гиппарха", поскольку в эпоху II века до н.э. невязка составляет около 14'.
В качестве звезд "второго уровня" мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от ближайшей звезды информативного ядра не более чем на 5 градусов. Таких звезд оказалось 9, включая информативное ядро. Добавилась звезда 47 δ Cnc (No. 3461 в каталоге BS4, BS5). Получившийся график среднеквадратичной невязки см. на рис.7.13
. Видно, насколько резко меняется картина, как только мы к восьми звездам информативного ядра, то есть к опорным, добавляем всего лишь одну звезду, причем близкую к ним, надежно отождествленную, хорошо видимую невооруженным глазом, и к тому же изолированную. Причина, скорее всего, в том, что именные звезды являлись для Птолемея опорными, а потому измерялись им многократно и особо тщательно. Остальные, по-видимому, измерялись путем наблюдений "по цепочке" относительно опорных.
Тем не менее, график на рис.7.13 все еще достаточно информативен. Минимум графика невязки достигается в 1000--1100 годы н.э. на уровне 9--10 минут дуги. В эпоху II века н.э. и ранее среднеквадратичная невязка существенно больше. В 100 году н.э. она равна 15', что составляет более 150% от минимального значения.
В качестве звезд "третьего уровня" мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 10 градусов. Таких звезд оказалось 12, включая информативное ядро. Кроме 47δ Cnc к информативному ядру добавились 14o Leo (No. 3852), 8 η Boo (No. 5235), 26 ε Sco (No. 6241).
График невязки показан на рис.7.14
. Он практически не отличается от предыдущего шага. Это и понятно. Мы находимся все еще очень близко к информативному ядру. При этом само ядро составляет 3/4 от количества звезд в выборке. Минимум графика достигается в 900 году н.э. на уровне 11'. В эпоху 100 года н.э. и ранее невязка составляет 14' или больше. Исходя из рис.7.14, наиболее вероятной датировкой каталога Альмагеста оказывается интервал приблизительно от 400 до 1400 годов н.э.
В качестве звезд "четвертого уровня" мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 15 градусов. Таких звезд оказалось 15. К предыдущим добавились звезды 78 β Gem (No.2990), 79 \zeta Vir (No.5107), 24 μ Leo (No.3905). График невязки см. на рис.7.15
. Минимум графика достигается в 800--900 годы н.э. на уровне 10'-11'. В эпоху 100 года н.э. невязка равна 12'. Таким образом, значение минимальной среднеквадратичной невязки почти не меняется. По-видимому, при расстояниях до 15o приборы Птолемея позволяли измерять координаты звезды все еще относительно самих опорных звезд, а не "по цепочке".
Наконец, в качестве звезд "пятого уровня" взяты звезды из табл.4.3, удаленные от информативного ядра не более чем на 20 градусов. Таких звезд оказалось 22, включая информативное ядро. Добавились звезды 112 β Tau (No. 1791), 60 ι Gem (No. 2821), 68 δ Leo (No. 4357), 29 γ Vir (No. 4825), 27 γ Boo (No. 5435), 3 β CrB (No. 5747), 5 α CrB (No. 5793).
График невязки показан на рис.7.16
. Минимум графика достигается в 400--800 годы н.э. на уровне 22'-23'. Это уровень среднеквадратичной ошибки, характерный для каталога Альмагеста в целом, то есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15o - 20o уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н.э. составляет 23', в эпоху V века до н.э. -- 24'. И так далее.
На последнем шаге наблюдается резкое падение точности измерений. Среднеквадратичная ошибка возросла в два раза. Поэтому, прежде чем двигаться дальше при расширении информативного ядра каталога, будем подсчитывать среднеквадратичную невязку лишь по тем звездам, которые при данной предполагаемой датировке каталога Альмагеста получили не более чем 30-минутную ошибку по широте. Это позволит нам избавиться от заведомо очень плохо измеренных Птолемеем звезд. Естественно, отбор таких звезд зависит от предполагаемой датировки каталога. При одной предполагаемой датировке какая-то звезда может оказаться измеренной хорошо, а при другой датировке -- плохо, или наоборот.
Мы будем продолжать учитывать обнаруженную систематическую ошибку в каталоге Альмагеста и варьировать γ и β в тех же пределах, как и выше.
Количество звезд, вошедших в выборку после такого отбора, мы изобразили на том же графике, что и невязку. Получившаяся картина представлена на рис.7.17
. Видно, что минимум среднеквадратичной невязки снова упал до 9' в 800--900 годах н.э., а в скалигеровскую эпоху Птолемея и Гиппарха, то есть от 400 года до н.э. до 100 года н.э., значения невязки максимальны -- около 12'. Отметим, что получившиеся значения невязки в 9' в области предполагаемый датировок 800--900 годы н.э., хорошо соответствуют ограничению на невязку в 30', которое мы задали заранее. Дело в том, что нормально распределенная случайная величина со среднеквадратичным отклонением порядка 9'-10', с вероятностью близкой к единице, не будет превосходить 30', то есть границы 3σ.
Увеличим теперь допустимое расстояние звезд до информативного ядра каталога с 20o до 25o. При этом будем по-прежнему рассматривать лишь те звезды, у которых ошибка по широте не превосходит 30' для данной предполагаемой датировки. Полученные графики см. на рис.7.18
. Здесь представлены невязка и количество звезд, вошедших в выборку для каждой предполагаемой датировки. Минимум среднеквадратичной невязки достигается в интервале от 800 до 1000 годов н.э. и составляет около 9,5'. Максимальное значение невязки, около 12,5', достигается около 400 года до н.э. В скалигеровскую эпоху Птолемея и Гиппарха, то есть около начала н.э., значение невязки близко к максимальному -- около 12'. Количество звезд, вошедших в выборку, -- от 21 до 24. В минимуме среднеквадратичной невязки в выборке оказалось 23 звезды.
Увеличим допустимое расстояние звезд до ядра с 25o до 30o, сохранив остальные параметры. Результат см. на рис.7.19
. Опять минимально возможная невязка по широте достигается лишь после 800 года н.э. Здесь в выборке оказывается 30 звезд. Число звезд в выборке при разных предполагаемых датировках колеблется от 20 до 31 звезды. Около начала н.э. невязка составляет около 13' . Что близко к максимальному значению на данном графике.
На рис.7.20
, рис.7.21
, рис.7.22
приведены аналогичные графики для звезд, удаленных от ядра каталога Альмагеста не более, чем на 35o, 40o, 45o. При этом в выборке приблизительно 40 звезд. Минимум среднеквадратичной невязки по широте становится все менее выраженным и начинает "уходить в будущее". Общий вид графика становится все более и более пологим, горизонтальным.
ВЫВОД. Итак, каталог Альмагеста удается датировать по собственному движению конфигурации примерно из 20 звезд. НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНЫМ ИНТЕРВАЛОМ ДАТИРОВКИ ОКАЗЫВАЕТСЯ ТА ЖЕ ЭПОХА, ЧТО И ВЫШЕ, А ИМЕННО 600--1200 ГОДЫ Н.Э. При этом, оказывается, нужно взять надежно отождествленные звезды, находящиеся "не очень далеко" от информативного ядра каталога, а именно, не далее чем в 20o - 25o. Если из выборки исключать звезды, которые при предполагаемой датировке t получают не более, чем 30-минутную невязку по широте, то остается около 20 звезд. При этом возникает график среднеквадратичной невязки с хорошо выраженным минимумом, рис.7.18. Минимум широтной невязки в 9' достигается внутри интервала 800--1000 годов н.э. В интервале 600-1200 годов н.э. уровень невязки практически не отличается от минимального: 9'- 9,5'. В эпоху от 400 года до н.э. до 100 года н.э. значение невязки максимально и достигает 11,5'- 12'.
Подчеркнем, что минимальной невязки порядка 10' на совокупности из нескольких десятков звезд нам удалось добиться лишь соблюдая их близость к информативному ядру Альмагеста. Все остальные испробованные нами способы отбора звезд из объединения областей неба A, Zod A, B, Zod B, M -- по яркости, "знаменитости" и т.п. -- приводят к типичному для Альмагеста в целом значению минимума невязки около 20'. Обойтись лишь одной хорошо измеренной областью Zod A тоже не удается. Возьмем, например, совокупность заметно движущихся звезд в этой области, то есть звезды из табл.4.3, попавшие в область неба Zod A. Таких звезд оказалось 12, не считая звезд информативного ядра. Если добавить все 8 звезд информативного ядра, то получится список из 20 звезд. К сожалению, точность широт в этом списке оказывается низкой. Существенно хуже, чем в области Zod A в целом. Соответствующий график среднеквадратичной широтной невязки по этим 20 звездам, как функция предполагаемой датировки каталога Альмагеста, приведен на рис.7.23
. Слабо выраженный минимум находится на уровне 23'. Он достигается на интервале от 400 до 800 годов н.э. Отступая от минимума всего на 1', мы захватим интервал от 400 года до н.э. до 1500 года н.э. Таким образом, содержательной датировки по всему этому списку получить не удается, ввиду низкой средней точности широт входящих в него звезд. Даже восемь звезд информативного ядра не в состоянии повысить среднюю точность широт этого списка. Это связано с тем, что большинство заметно движущихся звезд из Zod A -- довольно тусклые, а потому были измерены Птолемеем существенно хуже среднего. Напомним, что средняя точность его измерений широт по всему Zod A составляет 12' - 13'. Что гораздо лучше, чем 23' для указанных 20 звезд.
Итак, нам удалось расширить информативное ядро каталога Альмагеста без потери требуемой точности до пятнадцати надежно и однозначно отождествляемых в Альмагесте и заметно движущихся звезд неба. Напомним, что заметно движущимися мы называем звезды, которые имеют скорость собственного движения не менее 0,1'' в год хотя бы по одной из координат. Выбор координатной системы на звездной сфере в данном случае не имеет особого значения. Ее можно взять любой. Для удобства мы взяли экваториальные координаты 1900 года, поскольку к ним приведены современные звездные каталоги, которыми мы пользовались. Укажем окончательный список пятнадцати звезд, датирующих Альмагест по собственному движению. В скобках указан номер звезды в BS4 [1197].
1) 16Alp Boo (5340); 2) 13Alp Aur (1708); 3) 32Alp Leo (3982); 4) 10Alp CMi (2943); 5) 67Alp Vir (5056); 6) 21Alp Sco (6134); 7) 3Alp Lyr (7001); 8) 43Gam Cnc (3449); 9) 78Bet Gem (2990); 10) 47Del Cnc (3461); 11) 14Omi Leo (3852); 12) 24Mu Leo (3905); 13) 79Zet Vir (5107); 14) 8Eta Boo (5235); 15) 26Eps Sco (6241).
