В качестве предисловия прошу меня извинить за некоторую, возможно, сумбурность изложения: мне в первый раз приходится так сильно прилаживаться к умственному уровню читателя в достаточно длинном тексте.

1.Для начала счета необходимо определить пространство счета – что, собственно, считать. Поскольку самым частым представлением пространства счета является геометрическое пространство, то в нем и будем считать для уменьшения путаницы. Поскольку счет одномерен, то и геометрическое пространство берем одномерное – прямую линию, одинаково бесконечную в обе стороны от наблюдателя.

Как мы знаем, прямая состоит из бесконечного множества точек. Можем ли мы сейчас поставить в соответствие той или иной точке (например, точке А) какое-либо число? Нет, поскольку все точки сейчас равноправны.

2.Для начала нам надо определить точку опоры – точку начала счета, то есть базис, относительно которого будет начинаться счет, точку, относительно которой другие точку будут не равноправны. Обозначим эту точку вертикальной риской: точкой начала отсчета будет являться точка пересечения риски с прямой (бесконечно малая точка). Выбор точки начала отсчета условен, но в большинстве случаев он определяется внешними по отношению к пространству обстоятельствами. Исключением являются случаи физической неоднородности пространства, например, некоторые граничные состояния, не допускающие физической бесконечности пространства. Однако математически продолжить линию по ту сторону граничной точки вполне возможно, поэтому мы не будем рассматривать такие частные случаи.

Можем ли мы сейчас указать для точки А соответствие какому-либо числу? Снова нет, и, забегая вперед, потому, что нет меры – точка А находится левее начала счета (относительно наблюдателя!) и на некотором расстоянии от него, но на каком? Сравнить не с чем.

3.Только две вещи мы можем сказать о точке А: то, что она не совпадает с точкой отсчета – находится левее, и то, что расстояние от начала счета до точки А равно ОДНОМУ расстоянию от начала счета до точки А. Вот и появилось число. Но бесполезное, поскольку все точки, а не только точка А, по такой схеме сопоставляются с числом ОДИН.

А теперь возьмем еще одну точку – точку Б. Так получилось, что расстояние от точки А до точки Б оказалось равно расстоянию от точки О до точки А (это равенство обычно определяется сравнением с неким объектом в пространстве счета). Из этого следует, что в расстояние от О до Б укладывается ДВА расстояния от О до А и точке Б можно поставить в соответствие число ДВА. С другой стороны, чтобы выбрать расстояние от О до Б нужно два расстояния от О до А, следовательно, расстояние от О до А является ПОЛОВИНОЙ расстояния от О до Б и точке А можно поставить в соответствие число ПОЛОВИНА. Мы нашли уже несколько чисел, и все как отношения между длинами отрезков. И этот факт стоит запомнить – любые числа, с которыми можно сопоставить точки на числовой оси, являются результатом сопоставления длин отрезков. И только так.
Кроме точек А и Б есть еще бесконечное множество точек, в том числе точка О и им тоже должны быть сопоставлены числа, но мы к ним вернемся чуть позже.

4.Как мы видели в предыдущей теме, каждой точке можно сопоставить любое число (с одним исключением), если выбирать разные отрезки для сравнения. Можно всем точкам поставить ОДИН, можно ДВА, можно точке А поставить и ОДИН и ПОЛОВИНА. Нужна общая база – единый отрезок для сравнения всех остальных отрезков с ним одним. И этот отрезок будет равен базовому, т.е. самому себе и, следовательно, его длина будет равна ОДНОМУ.

Теперь, когда мы выделили особенную длину в качестве базовой (единичной), мы получили возможность дать каждой точке пространства свое, особенное, число, соответствующее количеству единичных отрезков и их долей, а значит, это число может однозначно определить положение точки.

5.Во-первых, мы получили множество точек, которые определяют отрезки, длина которых равна сумме нескольких целых единичных отрезков. Соответствующие им числа именно поэтому называются целыми. Заметим, что эти точки соответствуют концам единичных отрезков – это тоже может быть определением целого числа, более общим определением.
Во-вторых, заметим, что, кроме отрезков, начинающихся от точки О, существуют равные отрезки, последовательно откладываемые от конца предыдущего отрезка. Среди них существует отрезок, откладываемый от точки О – от начала счета. Этот отрезок между точками О и 1, т.е. вся совокупность составляющих его точек предшествует отрезку между точками 1 и 2, т.е. всей совокупности представляющих его точек, и т.д. Т.е. между равными отрезками существует отношение порядка, которое можно выразить числами. Эти числа соответствуют общему количеству заданного и всех предшествующих отрезков. Отрезок начинающийся в точке О – ПЕРВЫЙ (весь отрезок целиком дает количество ОДИН), отрезок, начинающийся в конце ПЕРВОГО отрезка, точке 1, – ВТОРОЙ (весь отрезок целиком и предшествующий дают количество ДВА), потом ТРЕТИЙ, ЧЕТВЕРТЫЙ и т.д.

6.В-третьих, для всех иных точек мы можем указать число, соответствующие количеству целых единичных отрезков, плюс количество долей единичного отрезка. Например, чтобы отсчитать отрезок до точки А мы должны отсчитать ОДИН отрезок единичной длины и какую-то его часть.
Обращаю внимание, что как целые отрезки, так и их доли имеют одну и ту же базу – отрезок единичной длины. Для примера возьмем отрезок, равный ПОЛОВИНЕ, или, по-другому, ОДНОЙ ВТОРОЙ единичного отрезка. Его длина может быть выражена как ДВЕ ЧЕТВЕРТЫХ, ТРИ ШЕСТЫХ, ПЯТЬ ДЕСЯТЫХ и т.д. Это однозначно говорит о том, что базой является именно единичный отрезок, как основа для определения доли любой степени дробности.
Итак, считаем до точки А. Отсчитываем ОДИН целый отрезок, потом ОДНУ ТРЕТЬ единичного отрезка, потом ОДНУ СЕДЬМУЮ единичного отрезка и получаем результат, число, соответствующее расстоянию от точки О до точки А в заданном масштабе – ОДИН и ОДНА ТРЕТЬ и ОДНА СЕДЬМАЯ. Конечно, трехсоставные числа не очень удобны, тем более, что звеньев может быть и больше. Поэтому применяется первая ступень упрощения – выражение через две части: ОДИН и ДЕСЯТЬ ДВАДЦАТЬ ПЕРВЫХ.

Конец первой лекции.

The верь The Гризли с планеты The Мля (привет Мужественному Борцу Веревкой)