Предпоследняя тема лекции получилась немного длинноватой, поскольку именной в ней рассматриваются камни преткновения НХистов. Поэтому, учитывая целевую аудиторию, пришлось нарисовать побольше картинок и разбить тему на две части, чтобы было поменьше букв.

9. Итак, с процессом счета мы познакомились практически в полном объеме, вернемся теперь рассмотрению пространства счета. Кто внимательно читал лекции, тот помнит, что мы рассмотрели счет только слева от точки начала отсчета. Вторая половина пространства счета осталась неохваченной. По какому же принципу мы должны производить счет справа от точки начала счета?

Обратим внимание на то, чем отличаются правая и левая половины пространства счета. Отметим, что правая и левая они относительно наблюдателя. И если наблюдателю встать по другую сторону прямой или развернуть саму прямую, то стороны счета поменяются местами. Значит половины прямой (лучи) равноправны, смена сторон не должна менять картины счета, и, следовательно, пространство счета симметрично относительно точки начала отсчета. Это четвертое главное и принципиальное свойство счета. Пользуясь этим принципом, мы легко получим законченную картину пространства счета.
рис. 12
Как видим, данная картина полностью соответствует указанному принципу. При развороте пространства счета или, что тоже самое, наблюдателя система счета не меняется, меняются только обозначения направления. Для иллюстрации расположим ось по-другому.
рис. 13
Здесь мы видим, что при счете можно выделить два направления счета относительно точки отсчета, причем каждое из направлений можно охарактеризовать по-разному. Но прежде чем сделать главный вывод из ситуации представим себе немного более сложный образ. Возьмем, к примеру, некий «склад» (ящик, мешок, коробку) в котором лежат зеленые и красные яблоки. Предположим, далее, что нас интересует с точки зрения счета не общее количество яблок, а то, насколько больше на «складе» зеленых или красных яблок. Таким образом, если зеленых яблок больше на два яблока, то состояние «склада» описывается как «2 зеленых яблока», а если красных больше на три, то состояние будет «3 красных яблока». И началом счета в данном случае будет равенство зеленых и красных яблок. Представим себе это зримо.
рис. 14
А также отметим, что перейти из первого состояния во второе можно двумя способами: можно забрать со «склада» 5 зеленых яблок, или добавить на «склад» 5 красных яблок.

В данном примере отчетливо видно, что началом счета является именно состояние яблок, а не какое-то яблоко, а также понятно, что красные и зеленые яблоки между собой абсолютно равноправны. Кто желает, может попробовать указать в данном примере нулевое яблоко.

Причем равноправие яблок проистекает вовсе не из того, что там и там яблоки. Вовсе нет. Таким же образом можно считать, например, стойла и лошадей, указывая состояние конюшни как «3 лишних лошади» - первая, вторая, третья - или «2 пустых стойла» - первое и второе. Кроме того, в этом примере ярче видна обратная сторона: «не хватает 3-х стойл» и «не хватает 2-х лошадей».

Те же, кто считает, что данные примеры надуманы, пусть поинтересуется, каким образом считается сальдо в бухгалтерии или электрическое напряжение в физике. Это и будет домашним заданием.
Мы увидели, что две равноправные половинки счета могут складываться в одну общую цепочку, ибо последовательным добавлением в конюшню лошадей можно «сделать» из стойла лошадь. Как это согласуется с числовой осью, построенной в начале лекции (рис.12)? Покажем это максимально наглядно.
рис. 15
Однако возникает неудобство. Объединяя два простых счета в один двунаправленный, мы каждый раз различаем половины счета разными признаками. А основной принцип счета (как и всей математики) – независимость от объекта счета. Поэтому в математику введено понятие положительного/отрицательного направления счета, независимого от объекта счета. Из двух направлений счета одно условно называется положительным, а другое отрицательным. Самое главное здесь понять, что отрицательными или положительными эти направления называются условно, т.е. не вносят никакого неравенства направлений. В любой момент можно сменить обозначения направлений и результат не измениться. Сами обозначения направлений (положительное «+», отрицательное «-») связаны с тем, что счет в направлении, выбранном как положительное, всегда рассматривается как увеличение, т.е. результат сложения. Хотя одновременно может являться уменьшением объектов отрицательного направления. И наоборот.

Давайте попробуем посчитать яблоки. Возьмем, к примеру, зеленые яблоки за положительное направление, а красные за отрицательное. Тогда состояние «2 зеленых яблока» будет записано как «+2», а «3 красных яблока» как «-3». Теперь, чтобы получить из первого состояния второе надо либо убрать 5 зеленых яблок, т.е. «+2 – (+5) = -3», либо добавить 5 красных, т.е. «+2 + (-5) = -3». В обоих случаях получается математически корректное выражение.

Сменим знак полностью, т.е. теперь красные яблоки положительны. Мы получим выражения «-2 + (+5) = +3» и «-2 - (-5) = +3». Как видим, результат не изменился – и там и там получилось 3 красных яблока.
Сразу хочу сделать отступление. Дело в том, что для положительных чисел стало не принято писать знак. Действительно, для выделения двух вариантов достаточно одного знака, вторым знаком может служить отсутствие первого (это, кстати, имеет отношение к теме лекции). Но в результате в умах современного поколения произошла путаница между беззнаковыми числами (например, натуральными) и положительными. Обычно в математике нет необходимости различать эти две категории, поскольку без потери общности можно считать, что абсолютные значения отображаются положительными числами. К примеру, для нашего случая, «5 красных яблок», 5 – беззнаковое. Применительно к геометрии, длина любого отрезка абсолютна, т.е. не зависит от выбора направления оси, а проекция вектора на ось координат бывает и положительная и отрицательная, т.е. знаковая, зависящая от выбора направления.

Продолжение следует...