А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ

Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и
Тимофею Григорьевичу Фоменко
ВВЕДЕНИЕ.. Геометрические образы и ассоциации в математике
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

1. Образы в топологии

2. Образы в теории многообразий
3. Образы в математическом анализе
4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
5. Образы в вариационном исчислении
6. Образы в  алгоритмической  и  компьютерной геометрии
144-163 164-183 184-203 204-222 223-229
Роман М.А.Булгакова "Мастер и Маргарита"

Иллюстрации 1-20
Иллюстрации 21-40
Иллюстрации 41-60
Иллюстрации 61-72

МАТЕМАТИКА.
Спектральные последовательности

Из книги "Гомотопическая топология".
Спектральные последовательности

184:(каталог-22)

Расслоения в смысле Серра

185:(каталог-24)

МАТЕМАТИКА.
Расслоения в смысле Серра

  Из книги "Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА.
Спектральные последовательности и орбиты действия групп

Из книги "Гомотопическая топология". Во многих физических задачах большую роль играют группы симметрий.  Они могут быть не только дискретными, но и непрерывными. Например, на пространстве может действовать компактная группа Ли. В этом случае пространство расслаивается на орбиты действия группы. Орбита - это множество точек, получающихся из какой-то одной точки при действии на нее всевозможными элементами данной группы преобразований.  Разные орбиты могут иметь разный объем и даже разные размерности. На рисунке изображено несколько семейств орбит, отвечающих разным типам действия групп Ли. Например, если на евклидовом пространстве действует подгруппа группы ортогональных преобразований, то орбиты лежат в концентрических сферах.  Если группа содержит подгруппу трансляций (параллельных переносов), то орбиты могут содержать "прямолинейные образующие" и т.п. Если вычислить объемы орбит, то получится функция, определенная на пространстве орбит.  Эта функция играет важную роль в теории минимальных поверхностей, инвариантных относительно действия групп.
Спектральные последовательности и орбиты действия групп

186:(каталог-26)

Спектральные последовательности

187:(каталог-27)

МАТЕМАТИКА.
Спектральные последовательности

  Из книги Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА.
"Убивающие пространства"

  Из книги "Гомотопическая топология"..
Убивающие пространства

188:(каталог-28)

Спектральные последовательности и дифференциалы

189:(каталог-30)

МАТЕМАТИКА.
Спектральные последовательности и дифференциалы

Из книги "Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА.
Линзовые трехмерные пространства

  Из книги "Гомотопическая топология"..
Линзовые трехмерные пространства

190:(каталог-31).

Прозрачная сфера

191:(каталог-33)

МАТЕМАТИКА.
Прозрачная сфера

  Из книги "Гомотопическая топология".

МАТЕМАТИКА. 

Еще не полностью решенная проблема вычисления гомотопических групп сфер.  Из книги "Гомотопическая топология".
Еще не полностью решенная проблема вычисления гомотопических групп сфер

192:(каталог-36)

Океан ночью. Пустынное побережье около города Магадана. Заблудившийся корабль из прошлого

193:(каталог-40)
Океан ночью.
Пустынное побережье около города Магадана.
Заблудившийся корабль из прошлого

Гибель ястреба в океане

Финал романа Г.Мелвилла "Моби Дик".
Гибель ястреба в океане

194:(каталог-41)

Распространение волновых фронтов от источника

195:(каталог-45)

МАТЕМАТИКА.
Распространение волновых фронтов от источника

Если в сплошной прозрачной среде вспыхивает источник света (не обязательно точечный - он может быть распределен вдоль какой-то линии или поверхности), от него распространяются световые лучи, движущиеся по геодезическим. Если коэффициент преломления среды не постоянен, то лучи движутся не по прямым линиям, а по более сложным траекториям. Если отметить на каждой геодезической, исходящей из источника, положение точки, отвечающее одному и тому же (для всех геодезических) моменту времени, то получится фронт волны.  Это - граница геодезического шара, "раздувающегося" из источника. Граница "светящейся зоны" может при распространения волны усложняться, на ней могут возникать особенности.

МИФОЛОГИЯ

Первобытные народы соблюдают запрещение будить спящего. Считается, что во время сна душа покидает тело и пускается в странствия:  поэтому она может не успеть возвратиться, и человек, проснувшись без души, заболеет. Еще более опасно, по мнению многих древних племен, передвигать спящего или изменять его внешний облик: по возвращении душа не сможет узнать тело, и человек умрет. Например, у племени минанг кабау строго настрого запрещено пачкать лицо спящего краской или грязью или разрисовывать лицо. В Бомбее изменить вид спящего, например, раскрасить лицо в причудливые цаета или пририсовать усы женщине, считается равносильным убийству. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М., 1984, с.178).

МАТЕМАТИКА

В гомотопической топологии используется цилиндр непрерывного отображения. Пусть f: X ----> Y - непрерывное отображение пространства X в пространство Y.  Построим новое пространство Z, взяв прямое произведение X на отрезок I и отождествив каждую точку вида (x,0) с ее образом f(x) в пространстве Y. То есть нужно приклеить основание цилиндра X x I к пространству Y по отображению f.  Получившееся пространство Z и называется цилиндром данного отображения.

МИФОЛОГИЯ

Полуразрушенный храм "Памяти воинов". Многие древние народы (например, в Австралии) убеждены, что жизнь каждого мужчины (а особенно воина) тесно связана с летучей мышью. В результате эти животные брались под защиту. После смерти человека его летучая мышь улетает. После жестокого сражения многие тысячи летучих мышей направляются в храм "Памяти воинов".  Аналогично говорит и миф о скандинавской Валхалле.  Души павших солдат, руководимые валькириями, устремляются на небо, в храм воинов.
цилиндр непрерывного отображени

196:(каталог-51)

Алгебраическая поверхность третьего порядка (кубическая поверхность)

197:(каталог-57)

МАТЕМАТИКА.
Алгебраическая поверхность третьего порядка (кубическая поверхность)

В целях наглядности выделена лишь одна из трех ее частей (все они симметричны и получаются друг из друга действием группы третьего порядка). Видны особые точки поверхности - концы ее "острых клювов". Шлэфли (Schlafli) и Кэли (Cayley) классифицировали возможные типы сингулярностей кубических поверхностей. Изображены сингулярности, называемые обычными двойными точками.  Проблема классификации особенностей алгебраических поверхностей имеет два аспекта: локальный и глобальный.  Локальная задача состоит в описании всех типов особенностей, появляющихся на таких поверхностях.  Глобальная задача такова: как определить все те комбинации особенностей, которые возможны на одной поверхности, и как описать их "иерархию", позволяющую отвечать на вопрос: какие поверхности можно продеформировать в другие алгебраические поверхности?

МИФОЛОГИЯ

Скала превращена в храм, обработана каменотесами так, что приобрела форму птицы ворона.  Сбрасывание жертв со скал практиковалось, например, в древней Греции (со словами:  "Будь очистителем нашим"). Храм - в виде черного ворона, неподвижно восседающего на вершине мирового древа, рядом с которым горит пламя. В некоторых европейских мифах ворон охраняет этот негасимый огонь от похищения его человеком. В евразийских сюжетах герой разоряет гнездо ворона и добывает огонь для человечества. После этого вершина погружается во мрак и черный ворон - как его символ - спускается на землю в поисках похищенного огня и с целью наказания виновника.

МАТЕМАТИКА.
Фокальные точки гладкого подмногообразия в евклидовом пространстве

В каждой точке подмногообразия (на рисунке подмногообразие представлено как вогнутая поверхность водного потока) можно построить плоскость, ортогональную подмногообразию. Получается нормальное расслоение.  Если подмногообразие искривлено, то нормальные плоскости (или просто нормали в случае двумерной поверхности в трехмерном пространстве), построенные в близких точках, пересекаются. На рисунке видно, как "вертикальные" поверхности сходятся друг к другу. Точка пересечения нормалей - это фокальная точка. Такие точки играют важную роль в теории Морса.  Например, при доказательстве теоремы о том, что на любом гладком многообразии можно всегда построить "функцию высоты" с невырожденными критическими точками.

МИФОЛОГИЯ

Легенда о том, что каждая душа ищет свою вторую половину.  Якобы, когда-то бог разрезал каждую душу надвое и получившиеся половинки затерялись среди других одиноких странствующих душ. Каждая из них стремится с тех пор найти свою настоящую вторую половину среди этого движущегося хаоса (Платон).  Если они встретятся и обнимут друг друга, то в то же мгновение они превратятся в единое целое и покинут материальный мир.
Фокальные точки гладкого подмногообразия в евклидовом пространстве

198:(каталог-59)

Ламинарный поток газа

199:(каталог-63)

МАТЕМАТИКА

Ламинарный поток газа (или жидкости), попадая в зону, содержащую препятствия, утрачивает свой спокойный характер и превращается в турбулентный, т.е. в потоке появляются сложные завихрения. На рисунке условно показаны правильные ряды падающих фигурок, которые сначала летят в ламинарной зоне, но потом их стройные ряды быстро расстраиваются, когда они попадают в зону турбулентности.

МАТЕМАТИКА.
Матрицы инциденций симплициального комплекса и группы гомологий


МИФОЛОГИЯ

В эпоху великих географических открытий, начиная с XV века, складывается романтическая океаническая мифология: невиданные страны, заколдованные острова, сказочные животные и чудовища, таинственные корабли без экипажа или с покойниками (наподобие знаменитого "Летучего Голландца") и т.п. В средние века океан представлялся как загадочная бездна, полная опасностей, без края и конца.  Многие средневековые рукописи и книги заполнены рисунками, изображающими фантастических животных, поднимающихся из пучины и поедающих моряков вместе с кораблями.  Особую тему составляли легенды о миражах, то и дело возникающих в открытом океане и уводящих корабль с его курса в бездну (этим особенно славились, в частности, острова Бермуды в Атлантике).
Матрицы инциденций симплициального комплекса и группы гомологий

200:(каталог-66)

Биллиарды. Теорема Пуассона-Лапласа

201:(каталог-68)

МАТЕМАТИКА.
Биллиарды. Теорема Пуассона-Лапласа

 
Мы видим свободно падающие "жидкие шары".  Согласно теореме Пуассона-Лапласа, мыльный пузырь, свободно падающий в пространстве, должен быть замкнутой поверхностью постоянной средней кривизны (если пренебречь сопротивлением воздуха, которое слегка искажает форму пузыря). Оказывается, такая поверхность - только одна: это стандартная сфера (некоторого радиуса).  Если же двумерная поверхность постоянной кривизны всего лишь погружена в трехмерное евклидово пространство (т.е. ей разрешено иметь самопересечения), то она может быть устроена сложнее сферы - например, может быть тором.

МИФОЛОГИЯ

Согласно легендам американского континента, знаменитые каменные шары (больших размеров), разбросанные в некоторых местах Америки, это - остатки когда-то могущественного племени богов.  Боги воплощались в образе каменных шаров, летавших по небу.  Затем они покинули своих почитателей, а ставшие ненужными каменные шары и сегодня время от времени находят в труднодоступных районах континента.

МАТЕМАТИКА.
Изометрические деформации поверхностей постоянной кривизны.  Обобщенные геликоиды

Теорема Миндинга (Minding) утверждает, что двумерные поверхности постоянной кривизны (с краем) можно изометрически деформировать. При этом сохраняется метрика и разрешаются самопересечения поверхности.  Каждый овалоид, т.е. замкнутая поверхность (без края) положительной кривизны, является жесткой, т.е. не допускает изометричных деформаций. Если разрезать сферу вдоль сколь угодно малого отрезка ее экватора, то разрезанная сфера уже допускает нетривиальные изометричные деформации. Если применить такой прием к эллипсоиду вращения, то его можно продеформировать в обобщенный геликоид, похожий на цилиндр, на который плотно (виток к витку) намотан резиновый шланг.

МИФОЛОГИЯ

Старая жрица взмахом палочки открывает празднество. Некоторые мифы наделяют особой магической силой именно старых женщин. Многие народы считают, что женщины способны вызывать дождь, распахивая поле (или изображая пахоту).  Однако это правило не универсально: некоторые племена Тибета, напротив, наделяли магической силой маленьких девочек.
Изометрические деформации поверхностей постоянной кривизны. Обобщенные геликоиды

202:(каталог-70)

Поверхности с особенностями.

203:(каталог-71)

МАТЕМАТИКА.
Поверхности с особенностями.

МИФОЛОГИЯ

 
Концентрические хрустальные сферы вращаются вокруг своего центра с разными скоростями. Пифагор утверждал, что каждая из семи планет расположена на своей сфере так, что при вращении сфер возникает гармоническая музыка. Расстояния между сферами будто бы соответствуют музыкальным интервалам дорийского лада. В развитие этих идей Филолай считал, что в центре мира находится не Земля, а некий центральный огонь и что планеты и сфера звезд вращаются вокруг него. Эту теорию развили последующие астрономы.  Вершиной средневековой теории стала система мира Птолемея. Его система эпициклов и деферентов объясняла многие видимые эффекты в движении планет и Солнца.  Исследование "музыки сфер" - одна из серьезных ветвей средневековой каббалистики. Согласно некоторым легендам - главная цель мага заключается в том, чтобы узнать "правильную мелодию" исполнив которую, он получает власть над миром.

Образы в общематематических концепциях:

Иллюстрации 144-163
Иллюстрации 164-183 Иллюстрации 184-203 Иллюстрации 204-222 Иллюстрации 223-229

Главная страница