А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ

Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и
Тимофею Григорьевичу Фоменко
ВВЕДЕНИЕ.. Геометрические образы и ассоциации в математике
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

1. Образы в топологии

2. Образы в теории многообразий
3. Образы в математическом анализе
4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
5. Образы в вариационном исчислении
6. Образы в  алгоритмической  и  компьютерной геометрии
7. Образы в общематематических концепциях:
144-163 164-183 184-203 204-222 223-229
Роман М.А.Булгакова "Мастер и Маргарита"

Иллюстрации 1-20
Иллюстрации 21-40
Иллюстрации 41-60
Иллюстрации 61-72

МАТЕМАТИКА:
ЗВЕЗДНАЯ ДИАГРАММА ГЕРЦШПРУНГА-РЕССЕЛА

Чтобы выяснить, нет ли какой-нибудь зависимости между спектральным классом и светимостью звезды, в начале ХХ века два астронома, - голландец Герцшпрунг и американец Рессел, - независимо друг от друга построили следующую диаграмму. Вдоль горизонтальной оси они отложили последовательность спектральных классов, а по вертикальной оси - абсолютные звездные величины звезд. Причем так, чтобы они убывали вверх по оси и, следовательно, светимости росли. Каждая звезда изобразилась на диаграмме точкой. Оказалось, что искомая зависимость существует. Звезды расположились на диаграмме не хаотически, а вдоль нескольких "линий". На рисунке условно изображена так называемая главная последовательность звезд и субкарлики. В астрономии эта диаграмма сегодня называется диаграммой спектр-светимость. Наше Солнце расположено приблизительно в центре изогнутой, "утолщенной" линии. Сегодня нет общепризнанной версии - какова природа этой зависимости.

МИФОЛОГИЯ.
Библейское пророчество Даниила рассказывает о пире царя Валтасара, прогневавшего Бога. Валтасар - сын Навуходоносора - устраивает пир, на котором пользуется священными сосудами, захваченными его отцом в Иерусалиме. Из стены храма появилась человеческая рука, пальцы которой написали на стене три загадочных слова: Мене, Текел, Упарсин. В ту же самую ночь Валтасар был убит (Даниил 5).


144:(каталог-32)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ

145:(каталог-168)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ

Дж.Дж.Фрэзер сообщает следующий факт. Правитель города Каликута на Малабарском берегу носил титул Саморина. В прошлом, по истечении двенадцатилетнего царствования, Саморин был обязан публично перерезать себе горло. Смерть до окончания этого срока спасала его от мучительной церемонии публичного самоубийства на воздвигнутом специально для этой цели помосте. Сначала он давал пир многочисленной местной знати. По окончании пира приветствовал гостей и всходил на эшафот, чтобы на глазах присутствующих надлежащим образом исполнить мрачный ритуал. Тут же на престол поднимался следующий царь. Впрочем, такие обычаи, вероятно, существовали лишь ограниченное время.  Следующие правители наконец пришли к простой и здравой мысли, что вместо себя можно посылать на эшафот "заместителя". Например, преступника. Либо же трансформировать кровавый ритуал в некий символический и неопасный обряд. Именно это вскоре и произошло в реальной истории средневековых обычаев престолонаследия.

ПОРТРЕТ ЕЛЕНЫ КУЗЬМЕНКО

Известно, что текстовая и зрительная информация часто избыточна. Например, из литературного текста можно, без особого ущерба для понимания, выбросить фрагменты многих слов. А иногда и целые слова, встречающиеся внутри устойчивых, привычных словосочетаний. При этом, смысл текста не утратится. Точно так же, из зрительного образа можно удалить многие фрагменты, и тем не менее он останется узнаваемым.  Конечно, нужно удалять лишь малосущественные детали, сохраняя главное. На этой идее основаны многие современные методы теории распознавания образов. Женский портрет лишен некоторых деталей, и тем не менее, он сохраняет самые существенные, характерные, легко узнаваемые черты оригинала. Отсюда видно - насколько устойчиво зрительное восприятие к "белому шуму" помех.
ПОРТРЕТ ЕЛЕНЫ КУЗЬМЕНКО

146:(каталог-172)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

147:(каталог-173)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

Алгоритмическая неразрешимость задачи классификации многообразий в размерностях, бо'льших чем три.  Одним из проявлений математической бесконечности является алгоритмическая неразрешимость некоторых задач топологии.  Каждое гладкое компактное многообразие можно представить в виде симплициального комплекса. Следовательно, составив таблицу, в которой перечислены все симплексы, их грани и коэффициенты инцидентности, мы можем задать многообразие таблицей, рассматривая ее как код многообразия.  Возникает задача алгоритмической классификации многообразий фиксированной размерности. А именно: существует ли алгоритм, действующий "по единой программе" (допускающий в принципе реализацию на компьютере) и отвечающий на вопрос:  определяют ли два произвольных кода (поданных на "вход" алгоритма) диффеоморфные (или гомеоморфные) многообразия или нет?  Многообразия размерности 1 и 2 классифицированы. Причем, это описание очень простое.  Относительно многообразий размерности 3 ситуация существенно иная.  Сегодня пока неизвестен алгоритм распознавания и классификации.  Далее доказано, что многообразия размерностей 4, 5, 6 и т.д. невозможно классифицировать. Это - строгая математическая теорема. Итак, начиная с размерности 4, не существует алгоритма, определенного на множестве кодов всех многообразий и отвечающего на вопрос: задают ли два любые кода, поданные на его "вход", диффеоморфные многообразия или нет.

МИФОЛОГИЯ.
Майя есть непреодолимая для обыкновенного человека и неизбежная иллюзия текучести бытия. Школа Шанкары признает майю необъяснимой и отождествляет ее с "незнанием". Это - некая вселенская нереальность. Философские школы по-разному трактовали это индийское мировоззрение. Действительность понимается лишь как греза божества, а мир - это божественная игра. Часто майя выступает как божественная женщина небесного происхождения. Иногда майя появляется как обман, хитрость, колдовское изменение вида.


АНТИДЮРЕР. ИЗ АВТОРСКОГО ЦИКЛА: "ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА"

 
В истории живописи особое место занимают художники XVI-XVII веков. В их работах ярко отразились средневековая философия и научные концепции той эпохи. Интересно проследить эволюцию научных представлений за прошедшие с тех пор 300 лет.  Так возник мой цикл работ "Диалог с авторами XVI века".  Настоящая работа возникла как результат размышлений над известной гравюрой А.Дюрера "Меланхолия". За прошедшие со времен Дюрера три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений. Приведем пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. У нас он заменен десятичным разложением числа "е":
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967...
Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см.цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены первые 121 знаков десятичного разложения числа "e". Такие десятичные разложения (некоторых иррациональных чисел) используются как датчики случайных чисел. Дело в том, что последовательность цифр десятичного разложения числа "e" (или, например, числа "пи" ), является (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем) случайной последовательностью. Сегодня, при помощи компьютеров, вычислено много тысяч знаков десятичного разложения чисел "пи" и "e". Зритель может также найти здесь изображение сепаратрисной диаграммы критической точки индекса 1 гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве. Это "колокольчик" с языком-сепаратрисой (рядом с числом "e").

МИФОЛОГИЯ.
Средневековый мистицизм достиг одной из своих вершин в толковании чисел, пытаясь при помощи арифметических операций над числами, открыть законы бытия. Например, характер протекания времени зависел от того - кто "наблюдает" за ним.  Считалось, что один день творения для Бога - это тысяча лет с точки зрения обычного человека. Складывая числа, средневековый мистик был убежден, что он "суммирует" отвечающие им сущности.
АНТИДЮРЕР. ИЗ АВТОРСКОГО ЦИКЛА: "ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА"

148:(каталог-175)

АНТИБРЕЙГЕЛЬ. ИЗ ЦИКЛА: "ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА"

149:(каталог-189)

АНТИБРЕЙГЕЛЬ. ИЗ ЦИКЛА: "ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА"

Работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля "Алхимики". Понятия математической бесконечности (уходящие за горизонт чаши с расплавленным металлом), динамических потоков, аналитических функций (облака в небе), гомеоморфизма и гомотопии (в виде деформаций человеческого тела). Отражена эволюция математических представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля.

МИФОЛОГИЯ.
Согласно убеждению средневековых алхимиков, металлы образуют единую систему, шкалу. Следовательно, могут превращаться друг в друга. Особое внимание уделялось превращениям, в результате которых должно было получиться золото.  Многие легенды описывают попытки средневековых мастеров изготовить золото из более распространенных металлов. Например, из свинца. Даосские алхимические трактаты уделяли особое внимание киновари, наделяя ее волшебными свойствами. Считалось, что при правильной многократной перегонке киновари можно получить не только золото, но даже эликсир бессмертия. Согласно некоторым рецептам, в особенно критические моменты изготовления золота, в кипящий расплав нужно добавлять такие совершенно необходимые компоненты, как сушеный хвостик мыши и т.п. Алхимики работали при дворах европейских монархов, постоянно держа их в напряжении обещаниями "вот-вот" получить груды золота. Неудачи объяснялись, естественно, происками врагов. Впрочем, современная химия в значительной мере выросла из алхимии. Как астрономия - из астрологии.


МУЗЫКАЛЬНЫЙ КЛУБ "ТОПАЗ" МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Юмористический рисунок посвящен юбилею музыкального клуба, организованного А.Т.Фоменко в 1963 году для студентов и сотрудников механико-математического факультета Московского государственного университета. Изображены (в шутливой манере) студенты и аспиранты (математики и физики), принимавшие в разные годы активное участие в работе клуба. Слева направо:  Александр Звонкин, Анатолий Фоменко, Юрий Лезнер (внизу), Владимир Кузнецов (вверху), Энно Йоон, Валерий Пахомов. Сидящая мужская фигура справа - композитор XIX века Антон Брукнер, произведения которого часто исполнялись и обсуждались на заседаниях клуба.
МУЗЫКАЛЬНЫЙ КЛУБ "ТОПАЗ" МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА.

150:(каталог-191)

А.Т.Фоменко
История музыкального клуба ВЕАФ-ТОПАЗ
механико-математического факультета Московского Государственного
Университета >>>

ПОРТРЕТ ЖЕНЫ ТАТЬЯНЫ

151:(каталог-192)

ПОРТРЕТ ЖЕНЫ ТАТЬЯНЫ

Математика присутствует здесь в виде сложного рельефа двумерных поверхностей. Характер линий излома, особых точек и ветвей поверхностей напоминает об аналитических функциях. Справа можно увидеть листы однозначности римановой поверхности алгебраической функции.


БИБЛЕЙСКАЯ ЛЕГЕНДА О СТРАШНОМ СУДЕ

Из цикла "Апокалипсис". "И увидел я мертвых, малых и великих, стоящих пред Богом, и книги раскрыты были,... и судимы были мертвые по написанному в книгах, сообразно с делами своими... И кто не был записан в книге жизни, тот был брошен в озеро огненное."(Апокалипсис.  20:12-15).  Средневековая легенда утверждает, что скоро (относительно конкретных сроков имеются разногласия) состоится второе пришествие Христа-судьи. Он призовет всех на суд и воздаст каждому по делам его.  Мотив суда тесно связан с действиями дьявола, выступающего в качестве оппонента Иисуса. Считается, что в будущем сатана получит кратковременный реванш во времена антихриста, однако затем будет окончательно заключен в аду. Средневековая фантазия была неутомима в описании образа сатаны, приписывая ему смешение антропоморфных и животных черт. Пасть сатаны отождествлялась со входом в ад, у него - три лица (красное, бледно-желтое и черное), шесть крыльев нетопыря.
БИБЛЕЙСКАЯ ЛЕГЕНДА О СТРАШНОМ СУДЕ

152:(каталог-193)

АПОКАЛИПСИС

153:(каталог-194)

АПОКАЛИПСИС

Геометрическая фантазия на темы библейской книги Апокалипсис. Использованы разнообразные математические образы. Например, математическая бесконечность, гомотопия и гомеоморфизм (деформации человеческих тел), элементы фрактальной геометрии, линзовые пространства - класс многообразий из трехмерной топологии, особые точки алгебраических поверхностей.  Мотив Страшного Суда - один из самых популярных в средневековой идеологии. Злые люди будут отделены от добрых, "плевелы" от "пшеницы". Вселенная придет в движение, космос содрогнется. Земля и море, звери, птицы, рыбы, отдают назад поглощенные ими тела мертвецов. Человек, очнувшийся от смертного сна, со страхом видит перед собой Христа-судью и ждет приговора. Раскрываются книги, где записаны все свершенные дела. Меркнут луна и солнце, звезды падают с неба, небо лопается и сворачивается как свиток. Земля разрезается гигантской трещиной, достигающей ада.


ИСКУШЕНИЕ СВЯТОГО АНТОНИЯ

По мотивам известной средневековой легенды об искушении святого Антония. Использован язык математических образов. Видны поверхности Бельтрами. Это - "трубы", "воро'нки", на которых реализуется гиперболическая метрика (метрика Лобачевского). Математическая бесконечность, гомеоморфизм, непрерывная деформация. Напоминается также о некоторых знаменитых математических задачах: о проблеме Ферма и проблеме Пуанкаре (является ли односвязное компактное трехмерное многообразие стандартной сферой). Обе эти проблемы были решены уже после того как рисунок был создан.

МИФОЛОГИЯ.
Согласно легенде о святом Антонии, он выдержал невероятные испытания и искушения, посланные ему. Сюжет был популярен в средневековой живописи. К нему обращаются и современные авторы, усматривая здесь общечеловеческий смысл, сохраняющий актуальность во все эпохи.  Бе'сы (особенно распространенные в средневековой Европе)
- это бывшие ангелы, отпавшие от Бога и ставшие слугами сатаны ("ангелами бездны"). Они искушают людей, но особенным их вниманием пользуются монахи, отшельники, пустынники, намеренно избиравшие "особо про'клятые места" с целью противостоять бесам.  Основатель христианского монашества Антоний Великий - герой многих легенд о преодолении бесовских козней. Чтобы добиться полного доверия соблазняемого, бесы могут принимать образ ангела или даже Христа. В этом образе они стараются совратить монаха с его пути, запугивая или, напротив, расхваливая отшельника. Бесы предлагают себя для блуда (мужчине - в виде женщины - "суккуб", а женщине - в виде мужчины - "инкуб"). Если монах ведет себя правильно, бес исчезает с шумом и серным запахом. Часто бесы являются к подвижнику в виде гротескных чудовищ (огнедышащий змей, медведь со многими головами, жаба). К этой же проблематике относятся и известные европейские образы черного пса (черного пуделя) и черного кота. Бесы инспирируют видения, галлюцинации, бред, могут являться в образе близких людей. Их крылья (следы былого ангельского происхождения) - это крылья летучих мышей или дракона.
ИСКУШЕНИЕ СВЯТОГО АНТОНИЯ

154:(каталог-226)

ФАНАТИКИ

155:(каталог-228)

ФАНАТИКИ

 
В поздне-средневековой Индии существовал удивительный обычай. По окончании празднества (происходившего раз в 12 лет) царь Саморина обязан был четверым из гостей, претендентам на его корону, предоставить возможность совершить дерзкую вылазку: силой оружия проложить себе путь через толпу в несколько тысяч телохранителей, в центре которой находился царь. Тот, кому удастся это практически невозможное предприятие, наследует империю. Вооруженным до зубов телохранителям при этом, естественно, отдавался приказ убить смельчаков. Из толпы выступала группа украшенных цветами и вымазанных золою людей с мечами в руках. Проходит мгновение - и вот они уже прокладывают себе путь среди копий, отбиваются мечами, извиваясь и корчась, как угри. Один за другим они падают, сраженные сталью. Они умирают даже не ради призрачной короны, а чтобы продемонстрировать окружающим свою доблесть. Та же великолепная демонстрация храбрости, то же бесполезное принесение в жертву человеческих жизней повторяется и в остальные дни праздника.  (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).

ПУП ЗЕМЛИ

Он служит опорой, например, оси мира (в древних мифах). Иногда это - вершина горы, к которой пристал Ноев ковчег, когда закончился мировой потоп. Согласно индийской традиции, вселенная, расширяясь после взрыва, распространяется вокруг Пупа земли как своего центра. В византийских мистериях - это идеальный центр медитативного транса. Страбон утверждал, что в Дельфах встретились посланные Зевсом с востока и с запада два орла. В память об этом событии в середине дельфийского храма был установлен мраморный шар. В некоторых традициях Пуп земли отмечается каменными сферами или полусферами (т.е. яйцо или половинка яйца). В Южной Индии такие камни называются до сих пор "пуповыми камнями". Иногда Пуп земли - это место рождения первого человека. У греков Пуп земли рассматривался и как вход в преисподнюю. Кроме Дельф, Пупом земли считался и город Энна в центре Сицилии. Согласно легенде, именно здесь Аид похитил Персефону.
ПУП ЗЕМЛИ

156:(каталог-265)

Фантазия

157:(каталог-54)
Топологическая фантазия на тему работы известного фотографа Stefan'а Arczyn'ski: "Zdjecie do Plakatu:Pantomima Wroclawska".

"И ТЫ, БРУТ"

Это слова Юлия Цезаря перед смертью, обращенные к Бруту - одному из убийц.

"И ТЫ, БРУТ"

158:(каталог-269)

АТЛАНТЫ

159:(каталог-271)

АТЛАНТЫ

По легендам, Атлант держал на своих плечах небо.

Легенда о летучем Голландце.
Мрачный корабль с бессмертной командой, встреча с которым сулила морякам беду.
Голландец

160:(каталог-272)

ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК, ПЛАВАЮЩИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

161:(каталог-74).

МАТЕМАТИКА:
ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК, ПЛАВАЮЩИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

 
Тяжелый гироскоп - это волчок, симметричное твердое тело, стремительно вращающееся вокруг своей оси. Замечательным его свойством является то, что ось волчка сохраняет свою ориентацию в окружающем пространстве, независимо от того, как перемещается аппарат, внутри которого помещен гироскоп (например, самолет). Это - важный прибор, применяемый в навигационной технике для ориентации аппаратов в окружающем пространстве. Уравнения движения тяжелого твердого тела изучаются сегодня методами теории дифференциальных уравнений, симплектической геометрии, алгебры и топологии. Если твердое тело имеет "произвольную форму", не обладает никакими симметриями, то тогда его движение будет хаотично, тело будет беспорядочно кувыркаться в пространстве.
МИФОЛОГИЯ. Ледяная скала-сосулька, расплавившаяся в космосе.  По поверью индейцев-сеналов (Америка) весь мир был когда-то огненным шаром, а от него огненная стихия перешла на деревья.  Именно поэтому, если потереть друг о друга два куска дерева, появляется огонь. Аналогично, племя майду убеждено, что земля была расплавленным шаром, огонь которого впитали в себя деревья. Да и сегодня, корни могучих дубов уходят в подземную бездну, где до сих пор пылает пламя, и пьют эту энергию. Поэтому молния чаще всего поражает дуб, стремясь быстрее слиться с подземным огнем. Скрытое пламя, которым питается дуб, очищает от скверны всех, приближающихся к нему. Вокруг дуба распространяется облако невидимого огня. У древних германцев дубы, пораженные молнией, были окружены орелом славы, так как в их обугленном расщепленном остове они видели руку Громовержца.

МАТЕМАТИКА:
КОНСТРУИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПОЛИЭДРОВ ИЗ ПРОСТЫХ


Сложные пространства можно "склеивать" из простых составных элементов:  симплексов, кубов и т.п. Каждый из "кирпичей" снабжен кусочно-линейной структурой, имеет грани, являющиеся многогранниками. Если два "кирпича" имеют линейно-изоморфные грани, то можно отождествить их при помощи линейных невырожденных отображений. Склеивая "кирпичи" по их граням, получаем более сложный полиэдр. Нетривиальная математическая идея состоит в том, что хотя локально все операции склейки линейны, однако в результате получаются существенно нелинейные объекты.  Например сфера может быть представлена как граница выпуклого многогранника.
КОНСТРУИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПОЛИЭДРОВ ИЗ ПРОСТЫХ

162:(каталог-76).

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

163:(каталог-81).

МАТЕМАТИКА:
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Хаотическое движение траекторий сложных эргодических систем связано с турбулентностью в потоках жидкости или газа. Движение раскаленных частиц в потоке пламени подчиняется чрезвычайно сложным закономерностям, частично описсываемым дифференциальными уравнениями в частных производных.

МИФОЛОГИЯ.
Памяти литовского поэта и художника М.К.Чюрлениса. А также:  странствующий корабль-парусник в ночном океане. Легенда о Летучем Голландце, обреченном бесконечно бороздить моря и внушать страх встречным кораблям. Раз в году при приближении зимы, Летучий Голландец уходит далеко на юг к мысу Горн и пытается обогнуть его, чтобы прорваться из Атлантического океана в Тихий.  Однако тяготеющее над ним проклятие не пускает корабль. А также:  легенда о Ноевом ковчеге. В библейской книге Бытие рассказывается, что воды подняли ковчег, и он отправился в плавание по океану, который полностью покрыл всю прежнюю землю.  Погибли почти все, жившие до потопа. (Бытие 7:17-20).  Когда потоп кончился, вода спала, и ковчег пристал к вершине горы. Согласно одной из версий, это - гора Арарат. Остатки ковчега искали здесь в XIX-XX веках неоднократно, но безуспешно.

Образы в общематематических концепциях:

Иллюстрации 144-163
Иллюстрации 164-183 Иллюстрации 184-203 Иллюстрации 204-222 Иллюстрации 223-229

Главная страница