А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ

Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и
Тимофею Григорьевичу Фоменко
ВВЕДЕНИЕ.. Геометрические образы и ассоциации в математике
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

1. Образы в топологии

2. Образы в теории многообразий
3. Образы в математическом анализе
4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
5. Образы в вариационном исчислении
6. Образы в  алгоритмической  и  компьютерной геометрии
7. Образы в общематематических концепциях
144-163 164-183 184-203 204-222 223-229
Роман М.А.Булгакова "Мастер и Маргарита"

Иллюстрации 1-20
Иллюстрации 21-40
Иллюстрации 41-60
Иллюстрации 61-72

МАТЕМАТИКА.
Конструирование сложных полиэдров из простых

МИФОЛОГИЯ

Скандинавские и германские мифы. Легенда о Валхалле и ее хозяине - боге Вотане (О'дине).  Валхалла всегда скрыта облаками. Они рассеются лишь тогда, когда очищающий жертвенный огонь погребального костра героя Зигфрида поднимется к небу.
Конструирование сложных полиэдров из простых

204:(каталог-77)

Фантазия на тему известного произведения польской фотографии

205:(каталог-88)

Фантазия на тему известного произведения польской фотографии

Однажды, во время посещения выставки польской фотографии, мне пришла в голову легенда острова Левкада (в Адриатическом море, вблизи Греции).  "У левкадийцев существовал обычай ежегодно во искупление грехов сбрасывать преступника в море с водопада Возлюбленных - белой скалы на южной оконечности острова.  Впрочем, чтобы смягчить падение, они привязывали к нему живых птиц и перья, а внизу, чтобы схватить его и выпроводить из пределов страны, его ожидала целая флотилия маленьких лодок. Возможно, что такого рода гуманные предосторожности были послаблениями, внесенными в более древний обычай сбрасывать искупителя чужих грехов  в море с целью его потопления... В других районах Греции бытовал обычай каждый год бросать в море молодого человека, повторяя при этом молитву: "Будь очистителем нашим"..." (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М.,1984,с.542).

Платоновский миф о том, что когда-то бог разрезал каждую душу на две половинки, после чего половинки ищут друг друга, чтобы вновь соединиться Две половинки

206:(каталог-90)

Скандинавские легенды о Зигфриде и Брунгильде

207:(каталог-96)

Скандинавские легенды о Зигфриде и Брунгильде

Прощание Брунгильды с Зигфридом, предательски убитым в спину Хагеном. Под влиянием колдовства Зигфрид забыл свою жену - валькирию Брунгильду и предал ее.  Виной тому - золотое кольцо Нибелунга, которое Зигфрид надел на палец.  Проклятие Нибелунга настигает героя и он трагически гибнет, так и не поняв истинной причины своего поражения. Вдали - в языке пламени - бог огня Логе, готовящийся вспыхнуть в погребальном костре Зигфрида и поглотить растерявшихся богов Валхаллы. Логе - единственный из богов, которому не страшно проклятие Нибелунга.  Эти легенды легли в основу вагнеровского цикла "Кольцо Нибелунга".

МАТЕМАТИКА.
Спайны трехмерных многообразий

Их можно рассматривать как коды многообразий: каждое 3-многообразие можно восстановить по его спайну (специального вида). Спайн получается так. Нужно разрезать многообразие (например, вырезать из него трехмерный шар), после чего получившееся многообразие с краем следует стянуть на его двумерный остов (иногда многообразие можно стянуть даже на одномерный граф или на нульмерное множество). Результат стягивания и называется спайном (spine).  Рисунок изображает разрезание многообразия и стягивание на остов меньшей размерности.

МИФОЛОГИЯ

Древние были убеждены, что существует глубокая связь между приливами, отливами и жизнью существ. Мнение, восходящее к Аристотелю, гласило: любое живое существо умирает только при отливе. Плиний утверждал, что это верование многократно подтверждалось на побережье Франции. Мнения, что большинство смертей случается при отливе, придерживались на всем восточном побережье Англии от Нортумберлэнда до Кента. В Португалии верили, что люди рождаются, когда вода прибывает.
Спайны трехмерных многообразий

208:(каталог-99)

Образы торов Лиувилля на сфере Пуассона

209:(каталог-102)

МАТЕМАТИКА.
Образы торов Лиувилля на сфере Пуассона

В теории движения тяжелого твердого тела известна сфера Пуассона. На нее можно спроектировать интегральные траектории системы уравнений, описывающие движение твердого тела, в результате чего на сфере появится область, заполненная образами траекторий.  Она может быть довольно причудлива.

МИФОЛОГИЯ

Раскалывающееся мировое яйцо.  Интересный мифологический образ: из яйца возникает вселенная (иногда - род людской). Яйцо часто - золотое, из его верхней и нижней половинок произошли, соответственно, небо и земля (солнце - это желток). Естественный вопрос: откуда взялось яйцо? Ответ: оно существовало всегда. Обычно начало творения связывается с тем, что яйцо раскалывается. Впрочем, иногда из него рождается злая сила, в частности, змей (например, в яйце спрятана Кощеева душа). В греческом мифе Кронос одним семенем оплодотворяет два яйца, скрытые под землей и из них рождается змей Тифон (василиск также появляется из яйца).

МАТЕМАТИКА.
Особенности гладких функций

В правой части показаны гомеоморфные образы особенностей, возникающих на поверхности, задаваемой уравнением;
(z - 1)^2 (x^2 - z^2) - (x^2 - z)^2 - y^4 - y^2 (2x^2 + z^2 + 2z -
1) = 0.

МИФОЛОГИЯ

В храме Аполлона Дирадиотеса в Аргосе раз в месяц ночью приносили в жертву ягненка. Женщина-жрица (она должна была соблюдать целомудрие), отведав крови ягненка, приводилась богом в состоянии одержимости и пророчествовала. Жрицу Аполлона перед началом прорицания окуривали дымом священного лавра. На острове Мадура, близ северного побережья Явы, у каждого духа имеется постоянный медиум, чаще всего женщина. Вдыхая пары филиама, исходящие из дымящегося кадила, она постепенно впадает в транс и ее речь рассматривается затем как пророческая. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь.  М., 1984, с.96).  Распространено предписание, согласно которому не должна проливаться на землю кровь верховного правителя. Марко Поло писал, что присутствуя на казни знаменитого изменника Мурро О'Брайена в городе Лимерик, он видел, как старая женщина - его приемная мать - взяла отрубленную голову и выпила всю вытекавшую из нее кровь со словами, что земля недостойна ее впитать.
Особенности гладких функций

210:(каталог-138)

Понятие топологической размерности

211:(каталог-139)

МАТЕМАТИКА.
Понятие топологической размерности

Трехмерность пространства означает, что его можно "замостить" сколь угодно мелким покрытием, в котором элементы покрытия ("кирпичи") пересекаются не более чем по четыре, т.е. пересечений по пять и выше можно избежать.

МИФОЛОГИЯ

Пирамида - важный религиозный символ.  Пирамиды Египта окружены многочисленными погребениями (как и христианские храмы). Мировое древо, древо жизни и познания иногда также связывали с пирамидой.  Древо мира помещалось в центре мира.  По мнению ацтеков, например, человечество взбирается на дерево мира, по сторонам которого находятся боги солнца и смерти.  Элементы древа мира включены в конструкцию мексиканской пирамиды Теночтитлан.

МАТЕМАТИКА.
Сепаратрисная диаграмма критической точки

Невырожденная критическая точка индекса один гладкой функции, заданной на трехмерном многообразии, характеризуется тем, что в нее "снизу" входят две одномерные сепаратрисы, а "наверх" выходит двумерный сепаратрисный диск. Получается нечто вроде "колокола", изображенного на рисунке. При этом его "ось" условно изображает две "одномерных уса"-сепаратрисы.

МИФОЛОГИЯ

Священное копье. В средневековой Азии был распространен мотив сотворения мира небесным существом, спустившимся с неба и ставшим мешать воду первозданного океана гигантским копьем. В океане возникло сгущение, давшее начало будущей земле. Японские острова тоже, якобы, возникли из грязной пены, поднявшейся в тот момент, когда бог стал мешать мировой океан острием своего копья. Создав мир, бог вешает копье на стену своего жилища. На конце копья горит пламя, освещающее мир. В средние века морские легенды обожествляли так называемые "огни святого Эльма" - трепещущие языки пламени, иногда возникающие на вершинах мачт кораблей (и вообще - на концах острых предметов) в перенасыщенной электричеством грозовой атмосфере океана.
Сепаратрисная диаграмма критической точки

212:(каталог-140)

Изображены поверхности уровня некоторой функции, заданной на трехмерном пространстве

213:(каталог-141)

МАТЕМАТИКА.
Изображены поверхности уровня некоторой функции, заданной на трехмерном пространстве

Поверхность уровня - это множество точек, в которых значение функции равно фиксированному числу. Топология поверхности уровня может меняться, когда значение функции изменяется и пересекает при этом критическое значение. В этот момент на соответствующей поверхности уровня возникают критические (особые) точки функции. Если f - это функция, то grad f - это поле градиента этой функции. Можно считать, что оно ортогонально поверхностям уровня во всех неособых точках. В особых точках возникают сепаратрисные диски, спускающиеся вниз от одной поверхности уровня к другой. Топология многообразия в значительной мере определяется тем, как перестраиваются поверхности уровня функции, заданной на этом многообразии (теория Морса).

МИФОЛОГИЯ

Многие старинные культы имели в своей основе поклонение вулканам - как воплощениям божеств. Такое грандиозное природное явление как вулканическое извержение производило потрясающее впечатление на древних. В римской мифологии Вулкан - бог разрушительного и очистительного пламени. Играл важную роль в магии: он мог на 10 лет отсрочить веления судьбы. Вулканизм описывается и в Библии. "Вы приблизились и стали под горою, а гора горела огнем до самых небес, и была тьма, облако и мрак. И говорил Господь к вам [на горе] из среды огня: глас слов [Его] вы слышали, но образа не видели..." (Второзаконие. 4:11-12).

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА.
Возникновение и распространение трещин в материале - один из важных разделов современной науки.


МИФОЛОГИЯ

Океан ночью. Флотилия судов, уходящая в далекое плавание.  Средневековая греческая легенда о Хароне - перевозчике мертвых в Аиде.  Он перевозит души мертвых по гигантской подземной реке. Цена перевоза - один обол. При погребальном обряде его клали под язык.  Харон перевозит лишь тех, чьи кости обрели покой в могиле. Стикс - река в царстве мертвых. Клятва водой Стикса - самая страшная. Эней был единственным живым человеком, которого мрачный старик Харон был вынужден перевезти через реку, поскольку Харону была показана золотая ветвь, сорванная в роще Персефоны.
Возникновение и распространение трещин в материале

214:(каталог-143)

Сепаратрисная диаграмма критической седловой точки гладкой функции на трехмерном многообразии

215:(каталог-145)

МАТЕМАТИКА.
Сепаратрисная диаграмма критической седловой точки гладкой функции на трехмерном многообразии

При изучении свойств функций f на многообразиях особую роль играют ее критические точки, где первый дифференциал функции обращается в ноль. Критическая точка невырожденна, если второй дифференциал функции невырожден в этой точке. Такие точки характеризуются индексом, т.е.  числом независимых направлений, по которым функция убывает. С каждой критической точкой связана ее сепаратрисная диаграмма, пример которой изображен на рисунке (в виде колокола).  Сепаратрисная диаграмма - это объединение сепаратрис, входящих в критическую точку и исходящих из нее. Сепаратриса - это интегральная траектория векторного поля grad f, взаимодействующая с критической точкой. Любая невырожденная седловая особенность гладкой функции на трехмерном пространстве имеет сепаратрисную диаграмму, состоящую из двумерного диска, "по нормали к которому" выходят две траектории (вверх и вниз).  Условно сепаратрисная диаграмма изображается в виде колокола, массивная часть которого соответствует двумерной части сепаратрисной диаграммы, а язык колокола и цепь подвеса (на которой висит колокол)
- это одномерные сепаратрисы.

МИФОЛОГИЯ

Гигантский колокол, висящий в пространстве. Уцепившись за веревку, привязанную к его языку, жрецы пытаются прекратить гул колокола. Гром в небе - это отголосок от удара молота бога Тора по колоколу. Тор - один из основных богов германо-скандинавского пантеона.  Богатырь, вооруженный боевым молотом Мьелльниром, Тор ездит в повозке, запряженной козлами.  Великан Трюм похищает молот Тора и Тор отправляется в страну великанов на поиски своего грозного оружия.  Переодевшись в одежду богини Фрейи - якобы невесты, предназначенной Трюму, Тор проникает в жилище Трюма и, получив в качестве свадебного подарка свой молот, сокрушает великанов.

МАТЕМАТИКА.

Изображена (в развертке) последовательность случайных чисел, где каждое число условно закодировано своим геометрическим образом.  Например, последовательность знаков десятичного разложения числа "пи" является примером такой последовательности.

МИФОЛОГИЯ

Многие средневековые ритуалы были направлены на управление погодой (вызывание дождя или его прекращение, контроль над ветрами и т.п.).  Воронки смерчей часто при этом отождествлялись с духами, управляющими ураганом.  Про бедуинов Восточной Африки известно, что "ни один смерч не промчится на их пути без того, чтобы за ним не погналась дюжина мужчин с обнаженными кинжалами, нанося удары в центр пыльного столба с замерением изгнать злого духа, который, согласно поверью, скачет верхом на урагане".(Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М. 1984, с.84).  Геродот рассказывает, что однажды в стране псиллов ветер высушил водоемы.  Тогда весь народ в полном составе отправился в пустыню на войну против южного ветра. Но когда они вошли туда, на воинов обрушился самум, который погреб их всех до единого.
последовательность случайных чисел

216:(каталог-146)

Симметричные возмущения поверхности

217:(каталог-151)

МАТЕМАТИКА.
Симметричные возмущения поверхности

Если группа симметрий возмущения является подгруппой в группе вращений, то возмущения, инвариантные относительно такой подгруппы, могут изображаться примерно так, как показано на рисунке.  Они напоминают волны, расходящиеся от камня, брошенного в спокойный водоем.

МИФОЛОГИЯ

Пророчество Эрды - богини земли в скандинавской мифологии. Ее сын - бог Тор. Перед последней битвой бога Тора с мировым змеем Ермунгандом, Эрда посылает сыну вещих птиц.  Земля вспучивается, лопается, из-под земли поднимаются огромные птицы и направляются к Тору, неся пророчество Эрды. Тор вступает в битву, поражает змея, но погибает сам от изрыгаемого змеем яда. Пророчество Эрды сбывается.

Юмористический рисунок: бритва Оккама. I

Юмористический рисунок: бритва Оккама. I..

218:(каталог-162)

Юмористический рисунок: бритва Оккама. II

219:(каталог-163)

Юмористический рисунок: бритва Оккама. II


Юмористический рисунок. Конец погони

Преследователь почти догнал беглеца, но добраться до него не может. Оба сильно устали. Что делать дальше - непонятно..
Юмористический рисунок. Конец погони

220:(каталог-179)

Разветвленные накрытия над сферой

221:(каталог-187)

МАТЕМАТИКА.
Разветвленные накрытия над сферой

Сфера односвязна, однако над сферой есть много разветвленных накрытий.  Любое компактное трехмерное многообразие можно представить в виде разветвленного накрытия над трехмерной сферой.  Проекцию разветвленного накрытия на сферу можно представлять себе наподобие бутона розы. Отдельные лепестки цветка накрывают сферу (содержащуюся внутри цветка), причем лепестки замысловато стыкуются друг с другом.

МИФОЛОГИЯ

 
Сказочный цветок, расцветающий, согласно средневековым легендам, в день летнего солнцестояния. Немецкое предание утверждает, что охотник в полдень летнего солнцестояния выпустил стрелу в солнце и стал обладателем жар-цвета: с солнца упали три капли крови - они-то и были жар-цветом. Охотник поймал их и положил на кусок белой ткани. Уральская легенда о каменном цветке, высеченном мастером из малахитовой глыбы в недрах огнедышащей горы.  Многочисленные легенды о жар-цветке могут быть связаны с вулканизмом. "Гора же Синай вся дымилась оттого, что Господь сошел на нее в огне: и восходил от нее дым, как дым из печи, и вся гора сильно колебалась: и звук трубный становился сильнее и сильнее.  Моисей говорил, и Бог отвечал ему голосом."(Исход 19;18-19). После беседы с Богом Моисей спустился с горы, держа в руках две "каменные скрижали" - плиты, на которых были записаны заветы Бога.


МИФОЛОГИЯ

Эней, спускаясь в подземное царство, берет с собой ветвь омелы. Он попадает в обширный темный лес, раскинувшийся у врат ада. Увлекаемый двумя голубями, Эней все дальше углублялся в дебри первозданного леса, пока сквозь тени скал и деревьев не увидел мерцающий вдалеке отсвет Золотой ветви.  В качестве объекта культа друиды выбрали дуб с растущей на нем омелой, считая, что каждый такой дуб не только был поражен молнией, но и хранил этот огонь. Поэтому, срезая омелу, друиды надеялись овладеть силой молнии. В ведических гимнах говорится, что бог огня Агни родился в лесу и был распределен среди растений.
Эней

222:(каталог-205)

Образы в общематематических концепциях:

Иллюстрации 144-163
Иллюстрации 164-183 Иллюстрации 184-203 Иллюстрации 204-222 Иллюстрации 223-229

Главная страница