ГАРАЖ. Даже не зная французского языка, любой грамотный человек скажет: это слово французское. Слишком уж по-французски оно звучит. Гараж, плюмаж, форсаж, макияж. Современный словарь иностранных слов дает такое объяснение этому слову: «ГАРАЖ < фр. garage> – помещение для стоянки заправки и технического обслуживания автомобилей тракторов и других самоходных машин».

Задумаемся над лексическим значением этого слова. Итак, это заГОРОДка (!), крытая крышей, помещение, которое заГОРАЖивает (!) транспортное средство от нескромных взглядов. Явно звучит русский корень, причем, от современного его отличает лишь один гласный звук. Напомню что чередование А/О - это вещь обычная в рамках русского, да и наверно, любого языка.

Посмотрим – нельзя ли как-нибудь подтвердить наше предположение? Оказывается можно. Открываем «Старославянский словарь X- XI веков» - там есть слово «ГРАЖДЪ» - конюшня. Раз это слово старославянское то ему должно быть соответствие в древнерусском языке. Попробуем восстановить его. Итак, первое – сочетание звуков РА указывает на неполногласие. В древнерусском языке этому слову будет соответствовать слог ОРО или ОРЪ (по аналогии «мраз» - «мороз» из «merz*»). Сочетанию ЖД в старославянском соответствует древнерусское Ж («дождь»- «дожжь»), получается в итоге что старославянскому ГРАЖДЪ соответствует древнерусское ГОРАЖЪ.

Вполне возможно, что слово ГАРАЖ исконно славянское , но в какой то момент в русском языке оно было забыто, а затем вернулось, но уже в качестве заимствованного.

gem – драгоценный камень, гемма, самоцвет.

gem (n.) (староанглийское «gimm» - драгоценный камень, гемма, драгоценность); из латинского «gemma» - драгоценный камень, дословно – бутон, виноградинка; вероятно из корня *gen- рождать, или из PIE *gembh- зуб, ноготь
Old English gimm "precious stone, gem, jewel," also "eye," from Latin gemma "precious stone, jewel," originally "bud," perhaps from the root *gen- "to produce," or from PIE *gembh- "tooth, nail." Of persons, from late 13c. Forms in -i-, -y- were lost early 14c., and the modern form of the word probably representing a Middle English borrowing from Old French gemme (12c.). As a verb, from c.1600, "to adorn with gems;" mid-12c. as "to bud."

1828:
GEMMA, - бутон лозы. Из «geno» - производить на свет
Ближайший аналог – самородок. Род – родить – рожать – рожаю – жена – gen.